Исследовать на экстремум функцию

Решение.

Поскольку перед нами рациональная функция, знаменатель которой никогда не обращается в ноль, то она будет всюду сколько угодно раз дифференцируема, и следовательно, ее критические точки будут только точками, в которых все ее частные производные равны нулю.

1. Поиск критических точек (=кандидатов на экстремум).

Необходимо решить систему

Она принимает вид

Решениями этой системы является точка и все точки вида , то есть две гиперболы.

Таким образом, множество всех критических точек представляют из себя следующую картинку:

2. Попробуем применить достаточное условие. Посчитаем гессиан в общем виде:

Посмотрим, что происходит с этим гессианом на первой гиперболе :

(в последнем равенстве мы воспользовались тем, что ).

Таким образом, эта форма (давайте, чтобы не путаться, распишем её в координатах ) имеет вид

(опять мы пользуемся тем, что ).

К сожалению, у нас не получилось, чтобы эта форма была знакопеременна.

Она конечно и не знакопостоянна, поскольку

Поэтому на этой гиперболе (нетрудно убедиться, что и на другой гиперболе тоже) исследование через гессиан ничего не дает - поскольку критерий Сильвестра ничего не дал, а проверив всё руками мы видим, что у нас не получается знакопеременной формы (иначе бы мы сразу поняли, что на гиперболе нет экстремумов).

Поэтому на гиперболе требуется непосредственное исследование поведения функции в окрестности каждой точки гиперболы.

Итак, в каждой точке гиперболы имеем

В то же самое время, в произвольной окреостности точки гиперболы получим

Поэтому всюду на гиперболе функция испытывает локальный максимум.

Наоборот, в каждой точке гиперболы имеет , и аналогично показывается, что в любой окрестности любой точки этой второй гиперболы . Поэтому каждая точка гиперболы является локальным минимумом.

Осталась для исследования только точка .

Видим, что

А это, очевидно, матрица знакопеременной формы, поскольку форма

конечно знакопеременна - при она больше нуля, а при она меньше нуля.

Следовательно, - не экстремум. (заметим, что тут критерий Сильвестра неприменим, но мы сами поняли, что форма знакопеременна).