Задача №88669: Случайные величины. Мат. ожидание и дисперсия. Ковариация. — Каталог задач по Высшей математике

Тема . Теория вероятностей и статистика

.07 Случайные величины. Мат. ожидание и дисперсия. Ковариация.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория вероятностей и статистика

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#88669

Пусть у нас есть $n$ принтеров в офисе, каждый из них ломается за год с вероятностью $p$ . Найти мат. ожидание и дисперсию количества сломанных принтеров за год.

Комментарией. То, что происходит в этой задаче, в науке называется биномиальным распределением (вместо принтеров, естественно, может быть любые другие $n$ объектов, каждый из которых что-то $”$ делает $”$ с одной и той же вероятностью $p$ ). При вычислении вы сразу же поймете, причем тут бином.

Показать ответ и решение

Давайте поймем самое главное - какие значения принимает наша случайная величина, равная количеству сломанных принтеров, и с какими вероятностями.

Ясно, что если $ξ$ - количество сломанных принтеров, то $ξ$ может быть равна $0,1,2,...,n$ .

С какими вероятностями принимаются эти значения?

Например,

n P(ξ = 0) = P( все пр интеры останутся целы ми ) = (1− p)

(мы считаем, что принтеры друг на друга никак не влияют и ломаются независимо.)

Ну хорошо, для $ξ = 0$ вероятность было посчитать легко, а что будет в общем случае? Какая вероятность того, что $ξ = k$ ? То есть что у нас какие-то $k$ принтеров сломаются?

Если фиксировать конкретные $k$ принтеров, к примеру, первые $k$ , то вероятность, что именно они сломаются, а остальные останутся целыми будет

k n− k p (1− p)

Но сломаться-то могут любые $k$ . Значит, надо посчитать, сколькими способами можно выбрать $k$ сломающихся принтеров из $n$ . Ясно, что $Ckn$ способами. И у каждого из $Ckn$ наборов вероятность будет $k n− k p (1 − p)$ .

Поскольку нас устраивает любой такой набор, то эти одинаковые вероятности нужно сложить, и будет сумма из $Ckn$ слагаемых, каждое из которых равно $pk(1− p)n−k$ .

Таким образом, получаем, что

k k n−k P (ξ = k) = C np (1− p)

Таким образом, мы сразу же можем посчитать мат. ожидание $ξ$ :

∑n ∑n ∑n n! Eξ = k ⋅P (ξ = k ) = k ⋅Cknpk(1− p)n−k = k ⋅---------pk(1 − p)n−k = k=0 k=0 k=0 k!(n − k)!

∑n ∑n = ------n!-------pk(1 − p)n−k = np ----(n−-1)!---pk− 1(1 − p)n−k = k=1(k − 1)!(n − k)! k=1 (k − 1)!(n − k)!

n = np ∑ Ck− 1pk− 1(1 − p)n−k n− 1 k=1

И тут уже вырисовывается картина того, что мы должны в конце концов получить.

Давайте прибегнем к небольшой хитрости и распишем

∑n ∑n Ckn−−11pk−1(1 − p)n−k = Ckn−− 11pk−1(1− p)n−1−(k−1) k=1 k=1

Мы просто в степени $(1 − p)$ вместо $n− k$ записали $n − 1− (k − 1)$ , что одно и то же.

Но теперь-то заметим, что если мы будем по биному Ньютона раскрывать выражение

n−1 (p + (1− p))

то что у нас получится? А у нас как раз и получится

n− 1 ∑n k−1 k− 1 n−1−(k−1) (p + 1− p ) = Cn−1p (1 − p) k=1

Просто тупо по биному Ньютона. Таким образом, оставшаяся сумма равна $(p+ 1 − p)n−1$ , что, разумеется, равно единичке для любого $p$ и для любого $n$ . Таким образом, окончательно получаем:

∑n ∑n ∑n Eξ = k ⋅P (ξ = k) = k ⋅Cknpk(1 − p)n−k = ...= np Ckn−−11pk−1(1 − p)n− 1−(k− 1) = np k=0 k=0 k=1---------- ------------ ◟ ◝=◜1 ◞

Вот мы и посчитали мат. ожидание.

Попробуем посчитать дисперсию:

2 2 Varξ = E (ξ )− (Eξ)

То есть для дисперсии нам нужно посчитать только лишь $2 E (ξ)$ .

Итак,

2 ∑n 2 ∑n 2 k k n−k ∑n 2 ---n!---- k n− k E (ξ) = k ⋅P (ξ = k) = k ⋅Cnp (1 − p) = k ⋅k!(n − k)!p (1− p ) = k=0 k=0 k=0

∑n = (k + (k − 1)k)⋅---n!---pk (1 − p)n−k = k=0 k!(n − k)!

n n ∑ ----n!--- k n−k ∑ ----n!--- k n−k = k ⋅k!(n− k)!p (1 − p) + (k − 1)k ⋅k!(n − k)!p (1 − p) k◟=0---------◝◜------------◞ k=0 =np -мы это только что считали

Таким образом, остается вычислить лишь

∑n (k − 1)k ⋅---n!----pk(1− p)n−k k=0 k!(n − k)!

n n ∑ ---n!---- k n−k ∑ ------n!-------k n−k (k − 1)k ⋅ k!(n − k)!p (1 − p) = (k − 2)!(n − k)!p (1− p) = k=0 k=2

∑n = n(n− 1)p2 ----(n-−-2)!---pk− 2(1 − p)n−2−(k−2) k=2 (k − 2)!(n − k)!

И тут, как вы видите, срабатывает тот же самый трюк, поскольку

n n ∑ ----(n-−-2)!---pk− 2(1 − p)n−2−(k−2) = ∑ Ck−2pk−2(1 − p)n−2−(k− 2) (k − 2)!(n − k)! n−2 k=2 k=2

Есть не что иное, как $n−2 (p+ (1 − p))$ , что равно 1 при любом $p$ и при любом $n$ .

Поэтому получаем, что

∑n ∑n E(ξ2) = k ⋅----n!---pk(1− p)n− k+ (k − 1)k ⋅---n!---pk(1 − p)n−k = k=0 k!(n− k)! k=0 k!(n− k)! ◟-----------◝=◜np-----------◞

= np+ n(n− 1)p2

Следовательно,

V arξ = E (ξ2)− (E ξ)2 = np+n (n− 1)p2− (np )2 = np+n2p2 − np2− n2p2 = np − np2 = n (p− p2) = np(1− p)

Замечание 1. Нетрудно видеть, что вычисления ни в случае мат. ожидания, ни в случае дисперсии не самые приятные. И вот в случае мат. ожидания действительно можно было все облегчить, но мы специально показали сложный способ, чтобы вы могли сравнить его с простым, который получается при помощи нашего замечательного свойства аддитивности мат. ожидания.

Итак, пусть $I1$ - случайная величина, равная 1, если первый принтер сломался, и 0 если нет. $I2$ - случайная величина, равная 1, если второй принтер сломался, и 0 если нет. И так далее...

Тогда ясно, что $ξ = I1 + ...+ In$ .

Далее, очевидно, что $EIk = 1⋅p + 0⋅(1 − p) = p$ , а по свойству аддитивности мат. ожидания

Eξ = E (I1 + ...+ In) = EI1 + ...+ EIn = p◟+-p-+◝◜...+-p◞ = np n раз

И мы получаем тот же ответ для мат. ожидания, только в тысячу раз проще.

Замечание 2. Логичный вопрос, а нельзя ли было получить результат для дисперсии так же нахаляву? Во-первых, можно, но вообще говоря далеко не всегда.

Но в этой задаче можно, потому что принтеры ломаются независимо (обратите внимание, что в халявном вычислении мат. ожидания это нигде не нужно было учитывать). С другой стороны, пока мы не доказали формулы для аддитивности дисперсии в независимом случае, мы ей и не пользуемся, поэтому тут пришлось немного пострадать с преобразованием сумм.

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ