Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Одним из свойств вероятности является следующее соотношение, верное для любых событий , :
Задача: А как будет выглядеть аналогичная формула для объединения трёх событий? То есть, как посчитать , зная по отдельности и всевозможные пересечения этих трёх множеств?
Давайте для начала нарисуем картинку
Понятно, что чтобы посчитать вероятность объединения , нужно как минимум сложить вероятности событий . То есть, начало формулы будет явно таким, поскольку их мы учесть обязаны:
Но что же дальше? Ясно, что если мы так сложим вероятности, мы посчитаем вероятности попарных пересечений дважды: мы дважды учтём (как часть и как часть ), дважды учтём (как часть и как часть ) и дважды учтём (как часть и как часть ). Поэтому вероятности этих пересечений нужно отнять, чтобы не посчитать их дважды. Значит, наша формула продолжается так:
Однако теперь заметим, что мы трижды посчитали сердцевину - вероятность тройного пересечения
- как часть , как часть и как часть .
Однако и отняли вероятность сердцевины мы тоже три раза - когда отнимали
. Значит, на данном этапе вероятность сердцевины у
нас вообще не посчитана, и её нужно добавить. Получается, что итоговая формула будет
такая:
Замечание 1. Эта формула называется формулой включений-исключений и,
разумеется, допускает обобщение на любое количество множеств.
Замечание 2. Разумеется, можно было доказать всё иначе, просто разбив наше
изначальное объединение на непересекающиеся части и сосчитав сумму их
вероятностей.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!