Трапеция и ее свойства —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.12 Трапеция и ее свойства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#72197

Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна $45∘.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что у равнобедренной трапеции пары углов при обоих основаниях равны.

Пусть углы при меньшем основании равны $x,$ а при большем — $y.$

Тогда с учётом условия имеем систему из двух уравнений:

{ x + x+ y + y = 360∘, y − x = 45∘.

{ x + 45∘ + x = 180∘, y = 45∘ + x.

{ x = 67,5∘, y = 112,5∘.

Ответ: 67,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#23894

Один из углов прямоугольной трапеции равен $∘ 113 .$ Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В трапеции сумма углов, прилежащих боковой стороне, равна $∘ 180 .$ Тогда если один из таких углов равен $∘ 113 ,$ то другой равен

180∘− 113∘ = 67∘

Оставшиеся два угла равны $∘ 90 ,$ так как трапеция прямоугольная. Тогда меньший угол равен $∘ 67 .$

Ответ: 67

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#23890

В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD,$ $∘ ∠BDA = 14$ и $∘ ∠BDC = 106.$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Для равнобедренной трапеции имеем:

∠BAD = ∠CDA = ∠BDA +∠BDC = =106∘+ 14∘ = 120∘

$PIC$

По сумме углов треугольника $ABD$ получаем

∠ABD = 180∘− ∠BAD − ∠ADB = = 180∘− 120∘ − 14∘ = 46∘

Ответ: 46

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#23889

Основания трапеции равны 3 и 9, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть равна

1 12 2(3 +9)= 2-= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#23880

Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $AB = 11,$ $DC = 10.$

$PIC$

Так как $EF$ — средняя линия трапеции, то $EO$ и $OF$ — средние линии треугольников $ADC$ и $ACB$ соответственно. Тогда имеем:

EO = 1DC = 1⋅10= 5 2 2 OF = 1 AB = 1⋅11 =5,5 2 2

Больший из этих отрезков равен 5,5.

Ответ: 5,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#22942

Средняя линия трапеции равна 20. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 1 к 4. Найдите большее основание трапеции.

Показать ответ и решение

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции $ABCD$ с большим основанием $AD.$ Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Пусть диагональ $AC$ пересекает $MN$ в точке $K.$ Тогда $MK$ и $NK$ — средние линии треугольников $ABC$ и $ACD$ соответственно. Значит, получаем

MK = 1BC 2 NK = 1 AD 2

Следовательно, $NK > MK,$ так как $AD > BC.$

$PIC$

Тогда имеем:

NK :MK = 4 :1 ⇒ NK :MN = 4 :5 4 NK = 5MN = 16 ⇒ AD =2NK = 32

Значит, большее основание трапеции равно 32.

Замечание.

Для диагонали $BD$ расчеты аналогичны, то есть выбор диагонали не имеет значения.

Ответ: 32

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#18607

Основания трапеции равны 6 и 8. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

$PIC$

Показать ответ и решение

Для начала найдем длину средней линии трапеции: она равна полусумме оснований, то есть

6+ 8 -2-- =7

Так как $EF$ — средняя линия трапеции $ABCD,$ то $EF ||AB$ и при этом $E$ — середина $AD.$

Тогда в треугольнике $ADB$ отрезок $EO$ параллелен основанию $AB$ и при этом проходит через середину стороны $AD.$ Значит, $EO$ — средняя линия треугольника $ADB$ и

EO = 1AB = 4 2

Тогда отрезок $OF$ равен

OF =EF − EO = 7− 4= 3

Следовательно, наибольший из отрезков средней линии трапеции равен 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#18491

В трапеции $PEMD$ с основаниями $EM = 1$ и $PD = 1,5$ диагонали $P M$ и $ED$ пересекаются в точке $O.$ Найдите $OD,$ если $ED = 4.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$P EMD$ — трапеция, следовательно, $EM ∥P D.$ Значит, $∠EMP = ∠DP M$ как накрест лежащие. $△ PDO ∼ △MEO$ по двум углам ( $∠P OD = ∠MOE$ как вертикальные, $∠EMO = ∠EMP = ∠DP M =∠DP O$ ), следовательно

EM EO 1 2 PD--= OD-= 1,5 = 3

Обозначим $OD = 3x,$ тогда $EO = 2x.$ Кроме того

4 = ED = OD + EO = 5x ⇒ x = 4= 0,8 ⇒ OD = 3x= 2,4 5

Ответ: 2,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#16097

Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Опустим высоту $BE$ на $AD.$ В прямоугольном треугольнике $ABE$ катет $BE$ напротив угла $α$ равен $BE = AB sinα = 8sinα.$

$PIC$

Запишем площадь трапеции, чтобы найти $sinα$

1 2SABCD SABCD = 2(AD + BC )⋅BE ⇒ BE = AD-+-BC-= 4

Тогда

sin α= BE- = 0,5 ⇒ α= 30∘ 8

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#16096

Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол $∘ 150.$ Найдите площадь трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — трапеция и $∘ ∠ABC = 150 .$ Тогда из параллельности $AD$ и $BC$ имеем $∘ ∠DAB = 30 .$ Опустим высоту $BE$ на сторону $AD.$ В прямоугольном треугольнике $ABE$ катет $BE$ напротив угла в $30∘$ равен половине гипотенузы:

BE = 1AB = 3,5 2

$PIC$

Тогда площадь трапеции равна

1 1 SABCD = 2(AD +BC )⋅BE = 2(6 +18)⋅3,5= 42

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#16093

Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Опустим высоту $CE$ на основание $AD$ трапеции. $ABCE$ — прямоугольник и $AE =BC = 4.$ Тогда $ED = AD − AE =8.$

Запишем площадь трапеции, чтобы найти длину высоты $CE :$

1 2S 2⋅64 SABCD = 2(BC + AD )⋅CE ⇒ CE = BC-A+BCADD- = 12+-4 = 8

Получили, что $EC =ED = 8.$ Тогда треугольник $CDE$ — прямоугольный с равными катетами, значит, его острый угол равен $45∘.$

$PIC$

Ответ: 45

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#16092

Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол $45∘.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Опустим высоту $CE$ на основание $AD$ трапеции. $ABCE$ — прямоугольник и $AE =BC = 2.$ Тогда $ED = AD − AE =4.$

$PIC$

Треугольник $CDE$ — прямоугольный с углом в $∘ 45 ,$ следовательно, он равнобедренный и $CE =ED = 4.$ Тогда площадь трапеции

SABCD = 1(BC + AD)⋅CE = 1(2+ 6) ⋅4 = 16 2 2

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2586

В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC = 7,5$ и $AD = 30$ диагональ $AC = 15.$ Найдите площадь трапеции $ABCD,$ если $SABC = 2.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ACD :$

∠BCA = ∠CAD BC- 1 AC- AC = 2 = AD

Тогда треугольники $ABC$ и $ACD$ подобны по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними. Следовательно, их площади относятся как квадрат коэффициента подобия:

( )2 SABC-= BC- = 1 SACD AC 4

Отсюда получаем

SACD =4 ⋅SABC = 8

Таким образом, искомая площадь равна

SABCD = SABC + SACD = 2+ 8= 10

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2522

Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $AD = 8.$ Проведем $DH ⊥ AB.$ Тогда для площади трапеции имеем:

72 = AB-+-DC-⋅DH = 27+-9⋅DH 2 2

Отсюда получаем $DH = 4.$

$PIC$

Рассмотрим прямоугольный $△ADH.$ Так как катет $DH$ равен половине гипотенузы $AD,$ то угол $DAH$ равен $∘ 30 .$

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2521

Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции $ABCD.$ Пусть основания $AB = 3$ и $CD =2.$ Отрезок $MN$ пересекает диагонали в их серединах — точках $E$ и $G.$

Действительно, так как $MN$ — средняя линия, то $MN ∥ AB ∥CD.$ Следовательно, если рассмотреть $△ADC,$ то $ME ∥CD.$

Так как к тому же точка $M$ — середина $AD,$ то по теореме Фалеса точка $E$ — середина $AC.$ Аналогично доказывается, что точка $G$ — середина $DB.$

$PIC$

Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то

MN = 0,5(3+ 2)= 2,5

Так как $ME$ и $GN$ — параллельные $CD$ средние линии в треугольниках $ADC$ и $BDC$ соответственно, то

ME =GN = 0,5CD = 0,5⋅2= 1

Следовательно, искомый отрезок равен

EG = MN − ME − GN = 2,5− 1− 1= 0,5

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2520

$PIC$

Показать ответ и решение

Проведем высоту $CH.$ Тогда $ADCH$ — прямоугольник, следовательно,

AH = DC = 4 ⇒ HB = 12 − 4 = 8

Площадь трапеции равна

AB + DC 4+ 12 64= ---2----⋅CH = --2--⋅CH

Отсюда получаем $CH = 8.$

$PIC$

Заметим, что мы получили, что

CH =HB = 8

Тогда $△CHB$ равнобедренный, значит, углы при основании равны, то есть $∠HCB = ∠HBC.$ Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $∘ 90,$ то искомый угол равен

∠B =∠HBC =90∘ :2 = 45∘

Ответ: 45

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2385

Одно из оснований трапеции в 5 раз меньше ее средней линии. Во сколько раз это основание меньше другого основания трапеции?

Показать ответ и решение

Обозначим меньшее основание трапеции за $x,$ большее — за $y.$ Тогда $5x$ — длина средней линии трапеции.

$PIC$

Так как средняя линия равна полусумме оснований, то

x+ y = 2 ⋅5x ⇔ y = 9x

Следовательно, меньшее основание трапеции в 9 раз меньше ее большего основания.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2046

В трапеции боковые стороны равны $12$ и $12√5,$ угол при меньшей боковой стороне равен $135∘.$ Найдите отношение меньшего основания к большему, если площадь трапеции равна $156.$

Если задача допускает несколько вариантов ответа, внесите в бланк меньший из них.

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим трапецию $ABCD,$ где $AB = 12, CD = 12√5,$ $∠A =45∘, ∠B =135∘,$ и проведем в ней высоты $BH$ и $CK.$ При этом трапеция может выглядеть двумя разными способами.

1 способ.

$PIC$

Заметим, что $△ABH$ — прямоугольный и равнобедренный, тогда

BH = AH = AB√- = 1√2-= 6√2 2 2

Значит, из прямоугольного $△DCK$ можно найти $KD :$

√- √ - √-------- √- KD2 = CD2 − CK2 = (12 5)2− (6 2)2 = 648 ⇒ KD = 9⋅9 ⋅4 ⋅2= 18 2

Т.к. площадь трапеции равна $156$ , то имеем следующее уравнение:

√ - √ - 6--2+-18-2+-x+-x ⋅6√2 = 156 ⇒ x =√2 2

Тогда

√- √- BC :AD = ( 2):(25 2)= 1:25

2 способ.

$PIC$

В этом случае, поступая аналогично первому способу, находим

CK = DK = BH = 6√2- √ - AH =18 2 √ - √- √ - AD = 18 2+ x− 6 2= 12 2+ x

Из уравнения $12√2+ x+ x √- 156 = -----2-----⋅6 2$ находим $√ - x =7 2.$

Значит,

BC :AD = (7√2-):(19√2) =7 :19

Т.к. $125 < 719,$ то в ответ пойдет $125 = 0,04.$

Ответ: 0,04

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1837

В трапеции $ABCD$ $CD = BC,$ $∠BCD = 140∘,$ $∠ABD = 100∘.$ Найдите модуль разности острых углов трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

$△BCD$ — равнобедренный, следовательно,

∘ ∠CBD = ∠CDB =20 ∠BAD = 180∘ − ∠ABD − ∠CBD = 180∘− 100∘− 20∘ = 60∘ ∘ ∘ ∘ ∠ADC = 180 − 140 = 40

Тогда

∘ ∘ ∘ ∘ |∠ADC − ∠BAD |=|40 − 60|= |− 20|= 20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1836

В трапеции $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O.$ Площадь $△AOD$ относится к площади $△ODC,$ как $8:3.$ В каком отношении состоит меньшее основание $BC$ трапеции $ABCD$ к большему основанию $AD?$