Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна Ответ дайте в градусах.
Заметим, что у равнобедренной трапеции пары углов при обоих основаниях равны.
Пусть углы при меньшем основании равны а при большем —
Тогда с учётом условия имеем систему из двух уравнений:
|
|
|
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Один из углов прямоугольной трапеции равен Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
В трапеции сумма углов, прилежащих боковой стороне, равна Тогда если один из таких углов равен то другой равен
Оставшиеся два угла равны так как трапеция прямоугольная. Тогда меньший угол равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции известно, что и Найдите угол Ответ дайте в градусах.
Для равнобедренной трапеции имеем:
По сумме углов треугольника получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания трапеции равны 3 и 9, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Пусть
Так как — средняя линия трапеции, то и — средние линии треугольников и соответственно. Тогда имеем:
Больший из этих отрезков равен 5,5.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Средняя линия трапеции равна 20. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 1 к 4. Найдите большее основание трапеции.
Пусть — средняя линия трапеции с большим основанием Точки и — середины боковых сторон и соответственно. Пусть диагональ пересекает в точке Тогда и — средние линии треугольников и соответственно. Значит, получаем
Следовательно, так как
Тогда имеем:
Значит, большее основание трапеции равно 32.
Замечание.
Для диагонали расчеты аналогичны, то есть выбор диагонали не имеет значения.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания трапеции равны 6 и 8. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Для начала найдем длину средней линии трапеции: она равна полусумме оснований, то есть
Так как — средняя линия трапеции то и при этом — середина
Тогда в треугольнике отрезок параллелен основанию и при этом проходит через середину стороны Значит, — средняя линия треугольника и
Тогда отрезок равен
Следовательно, наибольший из отрезков средней линии трапеции равен 4.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции с основаниями и диагонали и пересекаются в точке Найдите если
— трапеция, следовательно, Значит, как накрест лежащие. по двум углам ( как вертикальные, ), следовательно
Обозначим тогда Кроме того
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ выразите в градусах.
Опустим высоту на В прямоугольном треугольнике катет напротив угла равен
Запишем площадь трапеции, чтобы найти
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол Найдите площадь трапеции.
Пусть — трапеция и Тогда из параллельности и имеем Опустим высоту на сторону В прямоугольном треугольнике катет напротив угла в равен половине гипотенузы:
Тогда площадь трапеции равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Опустим высоту на основание трапеции. — прямоугольник и Тогда
Запишем площадь трапеции, чтобы найти длину высоты
Получили, что Тогда треугольник — прямоугольный с равными катетами, значит, его острый угол равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 6 и 2, большая боковая сторона составляет с основанием угол
Опустим высоту на основание трапеции. — прямоугольник и Тогда
Треугольник — прямоугольный с углом в следовательно, он равнобедренный и Тогда площадь трапеции
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции с основаниями и диагональ Найдите площадь трапеции если
Рассмотрим треугольники и
Тогда треугольники и подобны по пропорциональности двух сторон и равенству углов между ними. Следовательно, их площади относятся как квадрат коэффициента подобия:
Отсюда получаем
Таким образом, искомая площадь равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания трапеции равны 27 и 9, боковая сторона равна 8. Площадь трапеции равна 72. Найдите острый угол трапеции, прилежащий к данной боковой стороне. Ответ дайте в градусах.
Пусть Проведем Тогда для площади трапеции имеем:
Отсюда получаем
Рассмотрим прямоугольный Так как катет равен половине гипотенузы то угол равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Пусть точки и — середины боковых сторон трапеции Пусть основания и Отрезок пересекает диагонали в их серединах — точках и
Действительно, так как — средняя линия, то Следовательно, если рассмотреть то
Так как к тому же точка — середина то по теореме Фалеса точка — середина Аналогично доказывается, что точка — середина
Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то
Так как и — параллельные средние линии в треугольниках и соответственно, то
Следовательно, искомый отрезок равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Проведем высоту Тогда — прямоугольник, следовательно,
Площадь трапеции равна
Отсюда получаем
Заметим, что мы получили, что
Тогда равнобедренный, значит, углы при основании равны, то есть Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна то искомый угол равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Одно из оснований трапеции в 5 раз меньше ее средней линии. Во сколько раз это основание меньше другого основания трапеции?
Обозначим меньшее основание трапеции за большее — за Тогда — длина средней линии трапеции.
Так как средняя линия равна полусумме оснований, то
Следовательно, меньшее основание трапеции в 9 раз меньше ее большего основания.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции боковые стороны равны и угол при меньшей боковой стороне равен Найдите отношение меньшего основания к большему, если площадь трапеции равна
Если задача допускает несколько вариантов ответа, внесите в бланк меньший из них.
Рассмотрим трапецию где и проведем в ней высоты и При этом трапеция может выглядеть двумя разными способами.
1 способ.
Заметим, что — прямоугольный и равнобедренный, тогда
Значит, из прямоугольного можно найти
Т.к. площадь трапеции равна , то имеем следующее уравнение:
Тогда
2 способ.
В этом случае, поступая аналогично первому способу, находим
Из уравнения находим
Значит,
Т.к. то в ответ пойдет
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции Найдите модуль разности острых углов трапеции.
— равнобедренный, следовательно,
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции диагонали пересекаются в точке Площадь относится к площади как В каком отношении состоит меньшее основание трапеции к большему основанию
Высота, опущенная из вершины на сторону в и на сторону в будет одной и той же. Значит,