for A in range(1000):
    flag = True
    for x in range(1000):
        for y in range(1000):
            if not((x<A) or (y<A) or ((x*y)%3==0) or (4*x+2*y!=150)):
                flag = False
                break
        if not(flag):
            break
    if flag:
        print(A)
        break

def triangle(a, b, c):
    a, b, c = sorted([a, b, c])
    return a + b > c

for A in range(1, 100):
    flag = True
    for x in range(1, 100):
        if not((triangle(x, 6, 10) == (not(max(x, 7) > 35))) and triangle(x, A, 5)) == False:
            flag = False
    if flag:
        print(A)

def triangle(a, b, c):
    a, b, c = sorted([a, b, c])
    return a + b > c

summa = 0
for A in range(1, 1000):
    flag = True
    for x in range(1, 1000):
        if (not(not triangle(x, 111, A) and not triangle(101, x, A)) or x > 200) == False:
            flag = False
    if flag:
        summa += A
print(summa)

def triangle(a, b, c):
    a, b, c = sorted([a, b, c])
    return a + b > c

counter = 0
for A in range(1, 100):
    flag = True
    for x in range(1, 100):
        if (triangle(x, 20, 45) or triangle(x, 15, 50) or triangle(max(x, 16), 36, A) or (x > 75)) == False:
            flag = False
    if flag:
        counter += 1
print(counter)

def triangle(a, b, c):
    a, b, c = sorted([a, b, c])
    return a + b > c

summa = 0
for A in range(1, 1000):
    flag = True
    for x in range(1, 1000):
        if (not(not triangle(x, 333, A) and not triangle(879, x, A)) or (x > 600)) == False:
            flag = False
    if flag:
        summa += A
print(summa)

def triangle(a, b, c):
    a, b, c = sorted([a, b, c])
    return a + b > c

summa = 0
for A in range(1, 1000):
    flag = True
    for x in range(1, 1000):
        if (not(not triangle(x, 546, A) and not triangle(777, x, A)) or x > 1000) == False:
            flag = False
    if flag:
        summa += A
print(summa)

def triangle(a, b, c):
    a, b, c = sorted([a, b, c])
    return a + b > c

counter = 0
for A in range(1, 100):
    flag = True
    for x in range(1, 100):
        if (triangle(x, 10, 28) or triangle(x, 14, 56) or triangle(max(x, 20), 25, A) or (x > 60)) == False:
            flag = False
    if flag:
        counter += 1
print(counter)

def triangle(a, b, c):
    a, b, c = sorted([a, b, c])
    return a + b > c

counter = 0
for A in range(1, 100):
    flag = True
    for x in range(1, 100):
        if (triangle(x, 25, 36) or triangle(x, 28, 55) or triangle(max(x, 20), 40, A) or (x > 80)) == False:
            flag = False
    if flag:
        counter += 1
print(counter)

def triangle(a, b, c):
    a, b, c = sorted([a, b, c])
    return a + b > c

for A in range(1, 100):
    flag = True
    for x in range(1, 100):
        if not((triangle(x, 12, 20) == (not(max(x, 5) > 28))) and triangle(x, A, 3)) == False:
            flag = False
    if flag:
        print(A)

def triangle(a, b, c):
    a, b, c = sorted([a, b, c])
    return a + b > c

for A in range(1, 100):
    flag = True
    for x in range(1, 100):
        if not((triangle(x, 11, 18) == (not(max(x, 5) > 15))) and triangle(x, A, 5)) == False:
            flag = False
    if flag:
        print(A)

Раскрываем импликацию и упрощаем выражение, получаем:

«Враги» хотят, чтобы выражение было ложно:

Разберёмся, когда первый треугольник не будет остроугольным и когда второй треугольник не будет тупоугольным. При или треугольник (39, 80, x) не существует. При или треугольник (65, 72, x) не существует. По условию в функции ОСТРОУГ(a, b, c) и ТУПОУГ(a, b, c) подаются аргументы по возрастанию, поэтому x будет являться наибольшей стороной.

Треугольник является остроугольным, когда и является тупоугольным при . Таким образом, получаем, что для остроугольный треугольник не существует при , то есть при . Аналогично для , тупоугольный треугольник не существует при , то есть при .

Преобразуем систему в соответствии с нашими высказываниями.

«Друзья» хотят победить врагов, поэтому им нужно, чтобы следующая система была истинной при всех и .

Это обеспечивается тогда, когда . Следовательно, минимальная длина обеспечивается, когда . Таким образом, длина равна .

Запишем, чего хотят враги:

Исходя из этого уменьшим поиск по нечетным и четным значениям соответственно:

Решение (прогой, работает пару минут):

for A in range(1, 10000):
    flag = True
    for x in range(5, (4095 + 1)*2 + 1, 2):
        for y in range(2, 4095 + 1, 2):
            if x*y % A == 0:
                flag = False
                break
        if not flag:
            break
    if flag:
        print(A)
        break

Решение (ручками):

Повторим, чего хотят враги:

Друзья хотят, чтобы выполнялось условие при всех хотелках врага. Соответственно, нужно понять, когда же произведение не будет делиться на .

Исходя из хотелок врага мы понимаем, что будут подбираться такие , чтобы они делились на . Это значит, что будет содержать внутри себя делители хотя бы одного набора . Наша задача — предоставить такое , чтобы при любом произведении там не было такого делителя, что и в .

Заметим, что — четные числа. Значит, в самых больших будет содержаться максимум умноженное на что-то. Тогда, чтобы минимизировать возьмем (т.к. в степени что-то будет явно меньше, чем числа большие в степени что-то).

 

Максимальный размер множества : . Будем выкидывать из него элементы, чтобы найти минимальную сумму.

Очевидно, что при любом чётном первая скобка всегда будет истинной, и неважно, входит в множество или нет. Значит, из множества можно убрать все чётные элементы, то есть

При или в качестве можно взять число , тогда будет верна третья скобка, и неважно, входит в множество или нет. Значит, из множества можно убрать элементы и , то есть

Тогда минимальная сумма элементов равна: .

 

Неверное решение программой:

a = []
for x in range(1, 10):
    if ((x % 2 == 0) or (x in a) or (any(y*x % 15 == 0 for y in a))) == 0:
        a.append(x)
print(a)

В данной задаче стандартное решение программой ошибочно, поскольку оно не учитывает, что, если в множестве будет элемент , то элементы и можно не добавлять в множество, поскольку они оба в произведении с кратны . Тогда итоговая сумма будет меньше той, что получила программа.

Выполняется как и любой стандартный прототип на отрезки. Получается довольно легко: возьмите стандартный прототип и увеличьте границы отрезков в раз.

Система для врагов:

Враги мечтают, чтобы и при этом они были не в A.

Друзья хотят, чтобы все эти иксы были в A, тогда минимальный отрезок . Его длина равна .

 

Решение аналитикой

Враги хотят, чтобы выражение было ложно. Система для врагов:

Друзья говорят:

Выразим : . Тогда

Рассмотрим, что происходит при разных .

При : ;

При :

...

При : .

Тогда наибольшее .

Решение программой

for A in range(1000):
    p = True
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            f = ((x - 10 < A) <= (y + 28 >= 4 * A)) or (x + y != 17)
            if f == False:
                p = False
                break
        if p == False:
            break
    if p == True:
        print(A)

Решение аналитикой

Враги хотят, чтобы выражение было ложно. Система для врагов:

Все возможные и , где :

Тогда друзья говорят: . Максимальное , значит, . Наименьшее .

Решение программой

for A in range(1000):
    p = True
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            f = (6*x + 8*y != 128) or (x < y) or (3*y < A)
            if f == False:
                p = False
                break
        if p == False:
            break
    if p == True:
        print(A)
        break

Решение аналитикой

Враги хотят, чтобы выражение было ложно. Система для врагов:

Тогда друзья говорят:

Наименьшее , . Тогда

Наибольшее .

Решение программой

def f(a):
    for x in range(1, 1000):
        for y in range(1, 1000):
            if ((x * y > a) or (27 > y) or ((y - 20) >= a) or (x < 8)) == 0:
                return 0
    return 1

for a in range(1000):
    if f(a):
        print(a)

Решение аналитикой

Враги хотят, чтобы выражение было ложно. Система для врагов:

Тогда друзья говорят: . Наименьшее , . Тогда . Максимальное возможное .

Решение программой

  def f(a):
      for x in range(1, 1000):
          for y in range(1, 1000):
              if ((a < x + y) or (x >= 48) or (y > 2)) == 0:
                  return 0
      return 1

  for a in range(1000):
      if f(a):
          print(a)

Враги хотят, чтобы выражение было ложно. Система для врагов:

Тогда друзья говорят: . Наибольшее , . Тогда . Наименьшее .