Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Произведение оснований трапеции равно 18. Найдите периметр трапеции, если известно, что в неё вписана окружность, а диагонали делят среднюю линию на три равные части.
Подсказка 1
Рассмотрите одну из диагоналей трапеции и среднюю линию. Будем работать с треугольником образованным диагональю трапеции, боковой стороной имеющей с этой диагональю общую вершину и одним из оснований: чем является часть средней линии трапеции заключенная внутри этого треугольника?
Подсказка 2
Мы знаем, что средняя линия треугольника составляет известную часть от средней линии трапеции (а значит, нам известно, в каком отношении делятся средние линии треугольников, на которые рассматриваемая нами диагональ делит трапецию), и она же равна половине основания. Длина средней линии трапеции также выражается через длины оснований — запишите соответствующее уравнение и сделайте вывод об отношении оснований трапеции! Теперь, зная ещё их произведение, Вы можете найти длины оснований трапеции.
Подсказка 3
Длины оснований мы знаем, но не хватает боковых сторон... Но не зря же нам сказано о существовании вписанной в эту трапецию окружности. Вспомните, какой факт нужно использовать, чтобы определить сумму боковых сторон. Теперь мы знаем всё, что нужно для нахождения периметра!
Рассмотрим одну из диагоналей. Она делит трапецию на два треугольника, средние линии которых относятся как 2:1. Стало быть, одно из оснований трапеции в два раза больше другого. Поскольку их произведение равно 18, эти основания равны 6 и 3. Поскольку в трапецию вписана окружность, сумма боковых сторон равна сумме оснований, то есть периметр равен 2(6+3)=18.
18
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность, проходящая через вершины и прямоугольника , пересекает сторону в точке , а диагональ – в точке . Найдите площадь четырёхугольника , если , а точки лежат на одной прямой.
Подсказка 1
Поскольку ABEF не является какой-нибудь "удобной" фигурой, её площадь удобнее всего искать как разность площадей знакомых нам фигур: например, △ABC и △CFE. Для этого нам понадобятся ещё длины сторон. Будем их искать!
Подсказка 2
Какие свойства вписанного четырёхугольника вы помните? Сделайте вывод об ∠АFE, пользуясь вписанностью ABEF. Отметьте всевозможные равные углы и обратите внимание на прямоугольные треугольники в нашей конструкции — что можно про них сказать?
Подсказка 3
Поработайте с подобием прямоугольных треугольников: зная отношение катетов и гипотенузу, длина которой дана в условии, Вы можете отыскать и сами эти катеты (Пифагор в помощь!). Останется лишь дважды применить формулу площади прямоугольного треугольника и задача убита!
Поскольку четырёхугольник вписан в окружность, угол прямой. Следовательно, треугольники , , подобны. Поскольку , , то . Из подобия , откуда . По теореме Пифагора для , , откуда и из теоремы Пифагора для получаем . Стало быть, площадь Далее, из того же подобия следует, что . Стало быть, Тогда площадь четырёхугольника равна .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах и треугольника отмечены точки и соответственно. Точки лежат на одной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если известно, что и что радиус окружности, описанной около треугольника , равен
Подсказка 1
Нам не дано никаких длин сторон, что явно намекает на необходимость использовать подобия и(или) теорему синусов! Значит, будем в первую очередь работать с углами: какие равенства можно вывести из вписанности четырёхугольника СEDB? Отметьте углы, опирающиеся на одну дугу.
Подсказка 2
Подобными △ABC и △ADC, похоже, не являются. Значит, будем искать связь для теоремы синусов! Удобно взять их общую сторону АС и попытаться установить связь между синусами ∠ADC и ∠ABC.
Подсказка 3
Работая с равенствами и суммой углов треугольника, можно сделать вывод о том, что ∠ABC = 180° - ∠ADC. Тогда что мы можем сказать об их синусах?) Осталось применить теорему синусов и записать ответ!
Из условия и из равенства вписанных углов получаем
Стало быть, , откуда видим, что радиусы окружностей, описанных около и , равны по теореме синусов.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На гипотенузе прямоугольного треугольника отмечены точки и таким образом, что . Найдите , если известно, что площадь треугольника равна 18 , а тангенс угла равен .
Подсказка 1
Давайте пользоваться тем, на что нам намекает условие. Нам дан тангенс угла DCE, дана площадь – в общем, куча величин, в которых мы работаем с катетами. Введем обозначения: Пусть АВ=с, ВС=а, СА=b. Давайте запишем формулу площади, а затем подумаем, какие у нас есть способы получить какую-нибудь информацию из тангенса?
Подсказка 2
Давайте выразим угол DCE как разность углов АСЕ и ACD. А затем опустим перпендикуляры из точек D и E, чтобы записать тангенсы углов АСЕ и ACD через а и b. (Пользуйтесь параллельностью прямых!)
Подсказка 3
Теперь самое сложное – формула тангенса разности, а затем супер внимательно смотреть на полученное выражение и придумать, как из него получить нужные нам значения!
Условие явно намекает, что нужно посчитать, чем мы и займёмся. Пусть . Чтобы добраться до нужного нам угла, выразим его через разность, для этого опустим перпендикуляры на катет . Далее найдём углы
Где все длины отрезков легко считаются из . Аналогично . Пришло время вспомнить тангенс разности
Отсюда находим .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана трапеция с основаниями и . Пусть — середина отрезка , а — произвольная точка отрезка . Пусть — пересечение отрезков и , a — пересечение отрезков и . Найдите все возможные значения площади треугольника , если известно, что , а площадь треугольника равна 4.
Подсказка 1
Поищите подобные треугольники! Помните о том, что основания трапеции параллельны!) Когда найдете отношения сторон в подобных треугольниках, посмотрите, нет ли каких-то отношений, для получения которых мы можем воспользоваться равными отрезками из условия!
Подсказка 2
Если Вы строили рисунок “красиво“, то посмотрите на точки L и K. На что они намекают? Что хочется попробовать доказать для треугольников ACM и LCK? Воспользуйтесь равенствами из предыдущего пункта, чтобы доказать подобие!
Подсказка 3
А что можно сказать про прямые LK и AD? Воспользуйтесь этим, чтобы получить еще какие-нибудь отношения отрезков!
Подсказка 4
Теперь попробуйте пользоваться найденными отношениями отрезков и методом площадей, чтобы найти нужное отношение площадей!
Воспользуемся , а также равенством , получим
Из равенство первого и последнего отношений получаем (у них общий угол, а стороны делятся в одинаковом отношении). Иначе говоря, получаем . Поэтому прямая делит все отрезки между двумя основаниями в одинаковом отношении, откуда
Аналогично
Здесь использовано , что верно, поскольку в каждом из треугольников высота будет равна высоте трапеции.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две окружности касаются внутренним образом в точке . Хорда внешней окружности касается внутренней окружности в точке . Прямая пересекает внешнюю окружность в точках и . Найдите площадь четырёхугольника , если известно, что , а радиусы окружностей относятся как
Подсказка 1
Обозначим через Х и У точки пересечения внутренней окружности с отрезками АТ и ВТ. Вспомните про лемму Архимеда. Что можно сказать про отрезки АВ и ХУ?
Подсказка 2
Да, они параллельны! Вспомните о том, какие у нас есть вообще теоремы, в которых мы говорим об отношениях отрезков и которые похожи на эту задачу. В первую очередь, мы умеем работать с подобными треугольниками и во-вторых, у нас есть теорема о касательной и секущей! Воспользуйтесь ими, чтобы найти максимум отношений отрезков!
Подсказка 3
Посмотрите на отношения AS/BS и AT/BT. Какую теорему напоминает?
Подсказка 4
Верно, это обратная теорема о биссектрисе! Отметьте все равные углы, которые найдете и поищите параллельные прямые!
Подсказка 5
Посмотрите внимательно на четырехугольник ТАВС. Что можно о нем сказать? Воспользуйтесь всем, что узнали о четырехугольниках, о подобных треугольниках и попробуйте посчитать те величины, которые считаются!
Подсказка 6
Помните, если у нас есть трапеция, для вычисления ее площади мы можем найти высоту и среднюю линию и посчитать площадь, зная уже эти величины!
Обозначим через и точки пересечения внутренней окружности с отрезками и соответственно.
Проведём общую касательную окружностей в точке Тогда угол между касательной и хордой большей окружности равен углу и тот же угол между касательной и хордой меньшей окружности равен углу
Применяя теорему о касательной и секущей, получаем
то есть,
что в силу обратной теоремы о биссектрисе означает, что . Но из равенства следует, что
стало быть, , то есть четырёхугольник - трапеция, причём вписанная, то есть равнобокая. Значит, .
Далее, треугольники и подобны с коэффициентом подобия 5/3. Следовательно, , а средняя линия трапеции равна 4. Высота же трапеции равна катету прямоугольного треугольника с гипотенузой 3 и другим катетом 1 , то есть равна . Таким образом, искомая площадь равна .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружности и с центрами в точках и касаются внешним образом в точке . Общая внешняя касательная к этим окружностям касается и соответственно в точках и . Общая касательная к окружностям, проходящая через точку , пересекает отрезок в точке . Прямая, делящая угол пополам, пересекает прямые в точках соответственно. Найдите отношение , если известно, что
Подсказка 1
Воспользуйтесь тем, что мы знаем про отрезки касательных, и затем поищите равные треугольники. Что можно сказать про угол О₁СО₂?
Подсказка 2
Поотмечайте равные углы, поищите равнобедренные треугольники и запишите равенства углов уже в них. В этой задаче будет удобно ввести две переменные для каких-нибудь углов и выразить через них все остальные углы.
Подсказка 3
Посмотрите внимательно на углы D₁LO₁ LCO₁. Если задача все еще не решается, поищите треугольник, подобный треугольнику О₂LD₂.
Отрезки и равны как отрезки касательных. Следовательно, . Значит, и — биссектрисы углов и соответственно, так что образуют прямой угол. Стало быть, , то есть
Пользуясь этим соотношением, получаем:
Последнее следует из подобия треугольников и .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Трапеция вписана в окружность радиуса и описана около окружности радиуса . Найдите , если , а косинус угла между диагональю и основанием равен
Подсказка 1
Какие факты про стороны трапеции нам сразу дают условия на вписанность и описанность?
Подсказка 2
А где в равнобедренной трапеции мы вообще можем найти радиусы вписанной и описанной окружностей)?
Подсказка 3
Конечно диаметр вписанной окружности в точности равен высоте, а радиус описанной можем найти в теореме синусов для одного из вписанных треугольников. Подумайте, для какого треугольника ее лучше применить, опираясь на условия задачи и что получится найти из этого. Длины какого отрезка нам не хватает, чтобы вычислить радиус вписанной окружности?
Подсказка 4
Нас интересует либо длина диагонали, либо длина второго катета в прямоугольном треугольнике! Определите, на какие отрезки разбивается большее из оснований высотой и подумайте, как нам помогает теперь описанность трапеции, если длина боковой стороны уже найдена.
Первое решение.
Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная. По теореме синусов Высота , опущенная из вершины на большее основание делит его на больший отрезок , который равен полусумме оснований, и меньший , равный полуразности оснований. В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:
Второе решение. (по сути то же самое, но в общих обозначениях вместо промежуточных вычислений)
Из того, что трапеция вписана, следует, что она равнобокая. Положим Не ограничивая общности, можно считать, что Из того, что трапеция описана, следует, что Опустим перпендикуляр на сторону . Toгда (поскольку точки касания окружности делят основания пополам). Следовательно, обозначив получаем:
C другой стороны, по теореме синусов, примененной к треугольнику
Перемножая, находим:
Подставляя получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность касается сторон и треугольника в точках и соответственно и пересекает сторону в точках (точка лежит между точками и . Найдите радиус этой окружности, если известно, что и
Подсказка 1
Прямые касаются окружности, другие пересекают окружность. В какой теореме встречались и те и другие?
Подсказка 2
В теореме про квадрат отрезка касательной! Тогда самое время ввести неизвестную для некоторого отрезка и попробовать выразить все отрезки на сторонах треугольника через нее. А применив теорему получится и численно их найти!
Подсказка 3
Окружность не вписана и не описана. Ничего не остается, кроме как честно построить ее радиус и искать его. Чего не хватает для явного нахождения катета с известной длиной второго катета?
Подсказка 4
Конечно угла! Вспомните, на какой прямой лежит центр вписанной в угол окружности и подумайте, какой угол тогда стоит найти, если все стороны треугольника уже известны.
Пусть (пользуемся равенством касательных), а , тогда по теореме о квадрате касательной и . Из полученной системы легко найти и . Далее по теореме косинусов для :
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Медианы и треугольника пересекаются в точке . Найдите длину отрезка , если и известно, что вокруг четырехугольника можно описать окружность.
Подсказка 1
Назовём третью медиану CN. Заметим, что LM — средняя линия △АВС. Поотмечайте вытекающие из этого равные углы. Также отметьте доступные Вам равенства во вписанном четырёхугольнике KLСМ.
Подсказка 2
Удаётся ли заметить что-нибудь интересное? Например, подобные треугольники. Рассмотрите внимательно △AKN и △ANC, сколько у них пар соответственно равных углов?
Подсказка 3
Запишите отношения соответственных сторон в подобных треугольниках. Какие-то стороны Вы знаете, в других Вам известно лишь отношение — Вы ведь знаете, в каком соотношении медианы делятся точкой пересечения. Осталось лишь найти из получившегося равенства искомый отрезок!
Первое решение.
Пусть оставшаяся медиана пересекает сторону в точке тогда Отметим равные углы, используя параллельность (средняя линия) и вписанность . Далее воспользуемся подобием (у них пара равных углов по две дужки и один общий):
Так как то
Второе решение.
Пусть при гомотетии с центром в точке и коэффициентом точка переходит в точку тогда а по свойству центроида где — середина
Описанная окружность треугольника переходит в описанную окружность треугольника по теореме о пересекающихся хордах в получившейся окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В 4-угольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Каждая его диагональ делит его площадь в отношении . Найдите тангенсы всех углов 4 -угольника и радиус окружности, описанной около 4-угольника, если наибольшая сторона его имеет длину 24 .
Подсказка 1
Пусть AD — наибольшая сторона нашего четырёхугольника. Какой вывод о соотношении сторон можно сделать из условия о том, что в четырёхугольник можно вписать окружность? Запишите соответствующее равенство. А какой вывод можно сделать из того, что сам этот четырёхугольник вписан в окружность?
Подсказка 2
Мы знаем интересный факт о сумме противоположных углов вписанного четырёхугольника, а ещё мы знаем, что синусы таких углов равны. Запишите площади треугольников △ABC и △АCD через полупроизведение сторон и синусы углов ∠В и ∠D, соответственно. Тогда что можно сказать об отношении этих площадей?
Подсказка 3
Аналогично выразите через стороны отношение площадей △ABD и △BCD. Теперь перед Вами система: три уравнения с тремя неизвестными (ведь длину AD мы уже знаем!). Сумеете её решить?
Подсказка 4
Итак, мы нашли все стороны четырёхугольника! Какие выводы о нём теперь можно сделать? Внимательная работа с равенством сторон, стягиваемых ими хорд и всяких уголочков в описанной окружности поможет нам обнаружить равнобедренную трапецию!
Подсказка 5
Искать углы в равнобедренной трапеции с известными сторонами мы умеем! (Проведите для этого две высоты из концов меньшего основания, а дальше Вам поможет работа с прямоугольными треугольниками!). Осталось поработать с описанной окружностью. Для этого достаточно рассмотреть, к примеру, △ACD: найдите в нём АС при помощи теоремы косинусов и примените теорему синусов.
Из вписанности . Из описанности . Пусть — наибольшая сторона, запишем соотношения на площади, будем использовать формулу через синус угла и две прилежащие стороны.
При переходе мы поделили на равные синусы (которые, конечно, не равны нулю). Далее поделим первое уравнение на второе
Далее получаем откуда Далее
Равенство двух сторон из четырёх даёт нам равнобедренную трапецию — равны будут накрест лежащие углы, поэтому достаточно найти тангенсы только двух смежных углов, да и те будут противоположны. Опустим перпендикуляр на основание , получим
Отсюда
и
Наконец,
и
откуда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции основание в полтора раза длиннее основания , а длины боковых сторон и равны. На стороне взята такая точка , что Прямые и пересекаются в точке , а прямые и — в точке . Найдите величину отношения
Подсказка 1
Обозначьте сторону ВС, например, как а и выразите через неё отрезки ВК, КС и AD. Также пусть b будет боковая сторона. Параллельность оснований трапеции даёт нам множество подобных треугольников, попробуйте выразить в них искомые стороны через b!
Подсказка 2
Может возникнуть следующее затруднение: как при известном соотношении BF/AF, например, перейти к BF/AB: для этого распишите AF как сумму AB + BF — это поможет Вам связать BF с b. Аналогично можно поступить и с CE. Осталось лишь применить несложную арифметику дробей, и задача будет решена!
Пусть Пусть также
Из параллельности следуют подобия и
Воспользуемся подобием
Воспользуемся подобием
Из полученных соотношений
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность радиуса 2 с центром на основании равнобедренного треугольника касается его боковых сторон. Одну из точек касания соединили отрезком с противолежащей вершиной основания. Этот отрезок делится высотой треугольника, проведенной к основанию, в отношении 4 : 3, считая от вершины. Найти площадь треугольника.
Подсказка 1
Окружность касается боковых сторон треугольника, получается, что она вписана в его угол. Что можно сказать о положении центра этой окружности — на какой линии он будет лежать?
Подсказка 2
Рассмотрим треугольник △ACР (пусть Р - точка касания окружности со стороной СВ р/б треугольника △AВС с основанием АВ, О – центр нашей окружности, а Т – точка пересечения СО и АР) Нам известно, в каком отношении биссектриса угла треугольника делит его противоположную сторону. Какое свойство поможет нам узнать отношение двух сторон такого треугольника?) Поскольку АС=ВС, мы можем понять, в каком отношении точка Р делит сторону ВС.
Подсказка 3
Радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной! Рассмотрите треугольник △СОВ, образованный медианой, половинкой основания и боковой стороной исходного треугольника. Он прямоугольный, с известной высотой и известным отношением отрезков, на которые эта высота делит гипотенузу — этих данных достаточно, чтобы узнать все его стороны (работа с подобием поможет в этом!)
Подсказка 4
Теперь мы знаем высоту и половинку основания р/б треугольника. Несложные вычисления доведут нас до ответа :)
Пусть это треугольник , — середина основания, — точки касания с ,
Поскольку является биссектрисой первоначального треугольника, то она же будет биссектрисой , откуда , тогда . Из подобия имеем
Наконец, из подобия получаем
В итоге площадь равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Центр описанной около треугольника окружности лежит на одной из сторон этого треугольника, а длины сторон этого треугольника образуют геометрическую прогрессию. Найти тангенс наименьшего угла этого треугольника.
Подсказка 1
У какого треугольника центр описанной окружности лежит на стороне?) Введите обозначения: пусть меньшая сторона этого треугольника равна а, знаменатель прогрессии равен q. Выразите второй катет и гипотенузу этого треугольника через a и q.
Подсказка 2
Что мы знаем о соотношениях между длинами сторон и величинами углов в треугольнике? Против какой из сторон лежит наименьший угол? Выразите его тангенс через наши переменные.
Подсказка 3
Осталось записать теорему Пифагора и решить биквадратное уравнение! Сделайте это и задачка будет убита :)
Сторона, на которой лежит центр описанной окружности, является диаметром, тогда угол треугольника, который опирается на диаметр, является прямым. Пусть стороны , по условию образуется геометрическая прогрессия По теореме Пифагора
Получаем (подходит только положительный корень), откуда Наименьший угол лежит напротив стороны и его тангенс равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике высоты пересекаются в точке , а медианы в точке . Биссектриса угла проходит через середину отрезка . Найти площадь треугольника , если , а разность углов и равна .
Для удобства обозначений пусть медианы пересекаются в точке , а — центр описанной около окружности. Проведем серединный перпендикуляр к стороне . Как известно, биссектриса угла и продолжение пересекаются на описанной окружности треугольника пусть в точке . А также знаем, что точки лежат на одной прямой и (Прямая Эйлера). В силу того, что , получаем , где — точка пересечение биссектрисы угла и
по двум углам
по двум углам
Следовательно, если , то
Если то
По теореме синусов в треугольнике
Откуда и
Тогда