Пример для

Если чётное, то возьмём числа и Суммы, где оба слагаемых отрицательны или положительны, по модулю больше Cуммы, в которых слагаемые разных знаков, принимают значения из отрезка

Если — нечётное, то возьмём числа и Суммы, где оба слагаемых одного знака, по модулю больше Суммы, в которых слагаемые разных знаков, принимают значения из отрезка

Теперь докажем оценку на по индукции:

База при Есть числа Если выбрать все, то Выбрать числа можно.

Переход. Пусть для можно выбрать не более чисел. Следовательно, если мы хотим для взять хотя бы числа, мы обязаны взять числа и потому что среди оставшихся чисел по предположению можно взять не более число.

Ясно, что в этом случае брать нельзя. Рассмотрим случаи.

Если чётно, то разобьём оставшиеся числа на пары: и — штук.

Если из какой-то пары взять оба числа, то их сумма будет то есть мы так сделать не сможем. Значит, из каждой пары взято не более числа, то есть суммарно из этих пар взято не более чисел. Таким образом, мы выбрали не более чисел, противоречие.

Если нечётно, то разобьём так: и Числа оставим без пары. Получили пару, из каждой можно взять не более числа. Также среди чисел можно взять не более одного, потому что Таким образом, мы взяли не более чисел. Оценка доказана.