Пусть имеет точек разрыва на отрезке . Докажем, что тогда все еще удовлетворяет условию малых колебаний, то есть для любого найдется такая, что для всех разбиений с параметром выполнено, что

Итак, пусть дано . Окружим каждую точку разрыва окрестностью. Тогда множество

- это конечное объединение отрезков . На каждом из них будет непрерывна (потому что разрывна она только внутри этих окрестностей - в точках разрыва). Следовательно, по теореме Гейне-Кантора, она на них равномерно непрерывна. Тогда она равномерно непрерывна и на объединении .

Следовательно, по определению равномерной непрерывности, существует такое , что при всех таких, что обязательно выполнено

Пусть теперь . Тогда, при любом разбиении , параметр которого посчитаем сумму колебаний .

Эту сумму разобьем на две части:

В включим только те слагаемые, которые отвечают отрезкам разбиения, не имеющим общих точек с построенными окрестностями точек разрыва . В включим все остальные слагаемые.

Поскольку параметр разбиения сейчас , то у нас в разбиении не может быть отрезков, которые целиком содержат окрестности точек разрыва и при этом еще что-то. То есть любой отрезок разбиения либо лежит внутри окрестности какой-то точки разрыва , либо частично лежит внутри этой окрестности, частично снаружи (и в том и в другом случае слагаемое, соответствующее этому отрезку, попадет в ), либо вообще не пересекается ни с какой окрестностью, и тогда такое слагаемое попадёт в .

Итак, поскольку на каждом отрезке, слагаемые которого попали в , равномерно непрерывна, а диаметр каждого такого отрезка не превосходит , то мы можем из равномерной непрерывности легко оценить :

(ибо сумма по отрезкам, не пересекающимся с окрестностями точек разрыва уж точно не больше суммы вообще по всем отрезкам разбиения, а это равно длине всего отрезка ).

Теперь оценим :

Во-первых, нам дано, что - ограничена на , следовательно, найдется такая константа , что для любого выполнено .

Тогда

(ибо количество таких отрезков, которые пересекаются с окрестностями точек разрыва уж точно не больше, чем количество таких окрестностей , умноженное на то, сколько максимально с каждой окрестностью может пересекаться отрезков длины , пусть это ).

Таким образом,

То есть удовлетворяем условию малых колебаний и, значит, интегрируема на .