Итак, пусть нам дано, что - интегрируема на . Докажем, что тогда для любого найдется такое, что при любом разбиении отрезка с параметром выполняется соотношение:

Хорошо, пусть - какое-то разбиение отрезка , - отрезки этого разбиения, - соответственно, их длины (как и всегда). Тогда:

Если обозначить через

И затем ввести нижнюю и верхнюю интегральные суммы соответственно:

То мгновенно из определения и будет следовать, что при любом выборе отмеченных точек данного разбиения будет выполняться такое двойное неравенство:

Однако ясно, что какое бы , мы для каждого по определению супремума, ведь можем найти такие точки , что и тогда

Таким образом, верхняя интегральная сумма является супремумом всех возможных интегральных сумм для данного разбиения , потому что она, очевидно, всегда не меньше любой интегральной суммы с данным разбиением , но мы можем всегда за счет выбора отмеченных подобрать интегральную сумму с данным разбиением , которая больше, чем для любого .

То есть мы получаем, что

Аналогично же можно показать, что

Теперь, пусть - интегрируема на отрезке . По определению это означает, что

Но, в силу соотношений, что для любого разбиения с отмеченными точками выполнено

А в то же самое время, для любого и для любого разбиения можно подобрать такой набор отмеченных точек , что

То есть мы имеем для произвольного и для любого разбиения

Следовательно, по теореме о двух милиционерах, раз у существует предел при и любом выборе отмеченных точек, то обязан существовать предел и у при , и мы получаем, что

То есть

Для любого . Отсюда, разумеется, следует, что , то есть равен, собственно, тому же самому, что и .

Аналогично можно показать и то, что

Таким образом, если была интегрируема на , и её интеграл был равен , то обязательно будут иметь предел верхние и нижние интегральные суммы (и предел и тех и других будет равен ).

Осталось теперь лишь заметить, что для произвольного разбиения выполнено:

(в силу того, что колебание на ом отрезке, очевидно, равно ).

Таким образом, продолжая:

И раз - интегрируема на , то стремится к , тоже стремится к при стремлении , а следовательно,

Что и требовалось доказать. Таким образом, мы показали, что если функция интегрируема на , то она удовлетворяет условию малых колебаний.