Тема . Математический анализ
.12 Определенный интеграл Римана
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела математический анализ
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#53634

Вычислить

∫  π    ∘ ---------
    sin x  1 + cos2xdx
  0
Показать ответ и решение

Сделаем вначале замену t = cosx  . При этой замене отрезок [0,π ]  переходит в отрезок [cos0,cosπ] = [1,− 1]  . Как видим, у нас начало отрезка правее, чем конец. В таком случае, интеграл ∫
 −11   равен   ∫
−  1−1   , то есть, чтобы поменять местами пределы интегрирования, нужно взять интеграл со знаком минус.

Кроме того, при такой замене: dt = − sin xdx  , √1-+-cos2x-= √1-+--t2-   . Поэтому имеем:

∫ π    ∘ ---------     ∫ 1 ∘ ------
   sinx  1 + cos2xdx =       1 + t2dt
 0                      − 1

Далее:

∫ 1 ∘ ------    ∫ 1      2     ∫ 1           ∫ 1    2
      1+ t2dt =    √1-+-t--dt =    √--dt---+     √-t----dt
 −1              −1  1 + t2     − 1  1+ t2    −1   1+ t2

У первого интеграла - табличная первообразная:

∫ 1   dt           ∘  ------       √2--+ 1
    √-----2 = ln(t+    1+ t2)|1−1 = ln√------
 −1  1 + t                           2 − 1

А второй интеграл можно взять по частям:

∫ 1    2       ∫ 1     ∘ ------    ∘ ------    ∫ 1 ∘ ------          ∫ 1 ∘ ------
   √--t----dt =    t⋅d(  1 + t2) = t  1+ t2|1 −       1 + t2dt = 2√2-−       1 + t2dt
 −1  1 + t2     − 1                        −1    −1                    −1

Но ведь второе слагаемое - это есть в точности исходный интеграл! Поэтому, если обозначить за         √------
I = ∫ 1  1 + t2dt
     −1  , то у нас получится вот такое красивое соотношение:

      1+ √2--   √ --
I = ln---√---+ 2  2− I
      1−   2

Откуда легко найти, что        √-      √ --
2I = ln √22+−11-+ 2  2  , а, значит,     ln √√2+1+2√2
I = ---2−12----

Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!