Для того, чтобы это сделать, необходимо базис в (а заметим, что и линейно независимы, поэтому они образуют базис в ) дополнить до базиса всего пространства двумя векторами так, чтобы был базисом в .

То есть базис

нужно дополнить какими-то векторами до базиса всего пространства да причем так, чтобы при .

Сделать это можно двумя способами. Один из них - это дополнить базис просто какими-то векторами до базиса всего пространства , а затем к набору векторов применить процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

Тогда мы получим то что нужно и последние 2 вектора этого набора после процесса Г.- Ш. и будут давать базис в .

Но если мы пойдем этим путем, то немного перевыполним задачу, поскольку после процесса Г.- Ш. у нас будет набор попарно ортогональных векторов. В то время как требовалось лишь то, чтобы -шки были ортогональны -шкам. А это более слабое условие.

Поэтому можно найти сразу, и применять процесс Грама-Шмидта уже не нужно будет. Нужно лишь, чтобы выполнялись условия при . А также условие того, чтобы в итоге все векторы были линейно независимы.

Условие ортогональности можно записать в виде системы линейных уравнений, обозначив координаты , .

Тогда получаем систему

Эта система, разумеется, имеет бесконечно много решений. Нам достаточно выбрать лишь такое, при котором будут линейно независимы (то, что они независимы с получается автоматически из условия ортогональности.)

Подойдет, например, такое решение

Таким образом,

Осталось лишь разложить вектор по базису всего пространства . Тогда, если мы разложим по этому базису, то есть представим его в виде

То, разумеется, мы получим, что

И, поэтому, , а .

Коэффициенты разложения по базису ищем, решая систему линейных уравнений

Получаем .

Поэтому

Теперь легко посчитать и . Причем сделать это можно двумя способами. С одной стороны, конечно, . Но, естественно, не может быть иначе, что