Можно, конечно, сразу дополнить до ортонормированного базиса, взяв в качестве двух дополняющих его многочленов некоторые многочлены

и

с неопределенными коэффициентами, и записать явно условия того, что они все три попарно ортогональны относительно данного нам скалярного произведения.

Но мы поступим не так. Покажем, что задачу дополнения некоторой линейно независимой системы векторов до базиса можно решать и через процесс Грама-Шмидта (это еще одно полезное его применение.)

Дополним многочлен до какого-нибудь базиса в нашем пространстве . Например, можно дополнить его многочленами и . Ясно, что

- это базис пространства . А теперь просто применяем к набору векторов

процесс Грама-Шмидта.

Первый вектор остается неизменным, то есть первый вектор в новом ортогонализованном базисе и остается .

Второй вектор вычисляем по формуле

(при вычислении интегралов мы, естественно, пользовались формулой Ньютона-Лейбница)

Далее, вычисляем , то есть последний многочлен нашего ортогонального базиса:

(все интегралы здесь также легко вычисляются по формуле Ньютона-Лейбница)

Значит, набор многочленов

будет образовывать ортогональный базис в пространстве .