Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти расстояние между точкой и двумерной плоскостью в , заданной системой неоднородных линейных уравнений
Найдем сначала базис в линейном подпространстве, которое задает наше аффинное подпространство.
Ясно, что это линейное подпространство - это общее решение однородной системы линейных
уравнений
Поскольку любое решение неоднородной - это частное решение неоднородной + общее решение однородной, то и у нас любая точка нашей двумерной плоскости - это , где - частное решение неоднородной, а - любой вектор из , где - пространство решений ОСЛУ
При помощи стандартного алгоритма получаем, что базис пространства решений, то есть базис нашего подпространства - это:
Теперь вспомним, что расстояние между и нашей плоскостью равно , где - любая
точка, удовлетворяющая неоднородной системе, то есть лежащая в плоскости. Возьмём точку ,
допустим, такую (от этого ничего не зависит, лишь бы она лежала в плоскости).
Таким образом, нам нужно найти координаты ортогональной составляющей относительно
подпространства , у которого мы только что нашли базис.
Для этого нам надо базис дополнить до базиса нашего исходного пространства при помощи
векторов так, чтобы было базисом в .
Подберем и так, чтобы они были линейно независимы с и и при этом были бы им
ортогональны:
Тогда любой вектор из в частности наш можно однозначно представить в виде
где , .
Для того чтобы записать такое представление, нам нужно просто разложить по базису
.
То есть, надо понять, как представить в виде
Но это есть в точности задача о решении системы линейных уравнений
Решая её, находим
Тогда .
Следовательно, искомое расстояние равно
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!