Как нам гласит теорема о существовании -разложения, это разложение может быть получено в виде

где в свою очередь - матрица перехода, которая получается, если ортогонализовать столбцы матрицы при помощи процесса Грамма-Шмидта, - это матрица перехода, которая получается, если мы из ортогональной системы полученной на первом шаге делаем ортонормированную (т.е. все вектора делим на их длину), - диагональная матрица, на диагонали которой стоят длины векторов системы, полученной на первом шаге, после ортогонализации столбцов матрицы .

Итак:
1 шаг. Ортогонализовать столбцы матрицы . Если их преобразовать при помощи процесса Грамма-Шмидта, то получится такая система векторов:

А матрица перехода будет такой: . Тогда, находим :

2 шаг. Матрица - это просто матрица, у которой по диагонали стоят длины векторов после применения процесса Грамма-Шмидта. То есть,

3 шаг. Матрица - это матрица, по столбцам которой стоят вектора после применения система Грамма-Шмидта и после того, как мы их отнормировали, то есть поделили на их длину. То есть,

4 шаг. Далее, как мы и говорили,

И мы получили искомое разложение , где - ортогональная матрица, а - верхнетреугольная с положительными числами на диагонали.