Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Уравнение выглядит как-то пугающе и, наверное, классические методы решения здесь не подойдут. Попробуйте как-то поисследовать функцию в левой части уравнения.
Подсказка 2
Если исследовать функцию в левой части уравнения на монотонность, то можно понять, что она возрастает на всей области определения.
Подсказка 3
Левая часть уравнения возрастает, а правая - константа. Это говорит о единственности корня, который можно попробовать угадать.
Заметим, что отсюда нетрудно видеть, что является решением. Далее покажем, что функция в левой части строго возрастает на всей числовой прямой. Действительно, мы видим разность возрастающей (основание больше 1) и убывающей (основание меньше 1) показательных функций, которая строго возрастает. Отсюда равенство имеет не более одного решения, которое уже было найдено.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Числа удовлетворяют уравнению
Можно ли утверждать, что
Источники:
Подсказка 1
Как говорится, начнем с ОДЗ. Видно, что нам хватит того, что x,y≥0. Тогда мы можем с чистой совестью возвести обе части в квадрат. Что останется после приведения подобных?
Подсказка 2
Верно, √(x³y³+xy+x⁴+y⁴)=√(x³y³+xy+xy³+x³y)! Можно еще раз возвести в квадрат. Кажется, что после приведения подобных отлично выносится (x-y)...
Подсказка 3
Действительно, x⁴+y⁴-x³y-xy³=(x-y)²(x²+xy+y²). Подумайте, при каких x и y наше выражение обращается в 0 и завершите решение!
Сначала исследуем ОДЗ переменных. Поскольку
то Аналогично, Таким образом, для неотрицательных обе части неравенства имеют смысл и неотрицательны. Поэтому возведение в квадрат обеих частей приводит к равносильному выражению, которое, (после сокращения) запишется так:
После возведения в квадрат и уничтожения подобных членов оно примет вид:
Второе выражения это верно, т.к. и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
где
Источники:
Подсказка 1
Можно, конечно, сходу подставить ƒ(x) в наше неравенство. Но можно чуть-чуть облегчить себе жизнь и сделать замену ƒ(x)=y. Какое неравенство при этом получится?
Подсказка 2
Верно, y²<1! Тогда y лежит между -1 и 1. Сделайте обратную замену и найдите x, которые будут удовлетворять неравенствам.
Пусть Тогда по условию
После обратной замены
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Сделаем замену: Получим, уравнение:
Заметим, что является корнем и разделив уравнение на получим следующее:
Многочлен также имеет корень После деления этого многочлена на получаем уравнение:
Многочлен имеет только положительные коэффициенты и поэтому у него нет неотрицательных корней. Таким образом, единственный корень (кратности ) и, возвращаясь к переменной получаем два корня