Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан равнобедренный треугольник с основанием . Пусть — точка пересечения медиан. Докажите, что .
Источники:
Первое решение.
Вспомним следующую конструкцию: проведем две перпендикулярные прямые и на одной из них отметим точку, из которой отложим два равных угла, получив прямоугольный треугольник. Тогда где и — отрезки, на которые проведенная биссектриса делит сторону треугольника. Это следует из свойства биссектрисы: пусть — гипотенуза, — катет, тогда и так как получаем Также проведем медиану из отмеченной точки. Она будет пересекать катет выше биссектрисы в силу
По свойству точки пересечения медиан, . Пусть . Отметим — середину , тогда .
Проведем биссектрису угла . По сказанному ранее (биссектриса пересечет в точке, которая находится ниже — середины )
Треугольник — тупоугольный, поэтому так как опирается на тупой угол. Проведем биссектрису угла . Она пересечет ниже, чем точка — середина Поэтому
Итого получаем
То есть
Складывая, получаем
Второе решение.
Пусть — медиана равнобедренного треугольника , проведенная к основанию , тогда отрезок перпендикулярен основанию по свойству равнобедренного треугольника. По свойству точки пересечения медиан, . Обозначим и . Тогда неравенство равносильно неравенству . Последнее неравенство очевидно в случае, когда , так как
Пусть теперь . Из прямоугольного треугольников и имеем: , , значит, . Так как углы и лежат в интервале , то неравенство равносильно неравенству , то есть .
Рассмотрим разность
Так как , то и , и, значит,
следовательно, .
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!