Задача №77283: Неопределенный интеграл и первообразная. — Каталог задач по Высшей математике — Школково

Тема . Математический анализ

.10 Неопределенный интеграл и первообразная.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#77283

Найти неопределенный интеграл на каком-нибудь интервале при помощи занесения под дифференциал

∫ 3 -x-dx- x8 − 2

Показать ответ и решение

Табличным интегралом является следующий:

∫ 1 1 x − 1 --2---dx = -ln|-----|+ C x − 1 2 x + 1

Но можно аналогично доказать, что и для любого $a ⁄= |x|,a ⁄= 0$ будет верно, что

∫ ---1--- 1-- x-−-a x2 − a2dx = 2a ln|x + a|+ C

Мы будем этим пользоваться.

∫ 3 ∫ 4 -x-dx- = 1- ----d(x-)√---- x8 − 2 4 (x4)2 − ( 2)2

Обозначим $t = x4$ и получим

∫ ∫ √ -- ---d-(x4)√---- ----dt√---- --1√-- t−-√-2- (x4)2 − ( 2)2 = t2 − ( 2 )2 = 2 2 ln |t+ 2|+ C

Делая обратную замену, получим:

∫ 3 ∫ 4 ∫ √ -- 4 √ -- x-dx--= 1- ----d(x-)√----= 1- ----dt√----= -1√--ln|t−-√-2|+ C = -1√--ln |x--−-√-2|+ C x8 − 2 4 (x4)2 − ( 2)2 4 t2 − ( 2)2 8 2 t+ 2 8 2 x4 + 2

На каком же интервале мы нашли наш неопределенный интеграл? На любом, на котором справедливо было нахождение табличного интеграла, то есть на любом интервале, не содержащем точки вида $√8-- x = ± 2$ .

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse