Первое решение.

Посмотрим, при каких условиях окружность касается параболы. Пусть есть окружность радиуса с центром в точке а — точка касания окружности и параболы. Проведем касательную Тогда

Проведём через точку прямую, параллельную оси — точка пересечения прямой и оси

Тогда

Получаем, что но , так как — касательная в точке

Значит,

Тогда по теореме Пифагора получаем, что

Теперь рассмотрим случай с двумя окружностями.

Пусть и Тогда

Также знаем, что

Из и получаем, что .

То есть мы поняли, что если есть две окружности радиуса и соответственно, которые касаются параболы и друг друга, то их радиусы отличаются на .

Тогда получается, если то

Второе решение.

Пусть — радиус -й окружности, Тогда уравнение -й окружности имеет вид:

Условие касания означает то, что уравнение имеет один корень, тогда его дискриминат равен нулю, то есть (так как Отсюда

Покажем по индукции, что База уже есть, докажем переход.

Тогда получается, что