Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть — ненулевой многочлен с неотрицательными коэффициентами такой, что функция — нечетная. Может ли оказаться, что для различных точек на графике выполняются условия: касательная к графику в точке проходит через точку касательная в точке проходит через точку касательная в точке — через точку
Первое решение. Покажем, что при данных условиях на многочлен каждая следующая точка касания лежит по другую сторону от оси чем предыдущая.
Пусть — данный многочлен, — его производная. Пусть — это -я точка касания, а -я. Тогда касательная в точке имеет уравнение Значит, откуда Разделив это равенство на и перенеся все слагаемые в правую часть, получим при четной степени выражение:
Пусть и одного знака (считаем, что с любым числом одного знака). Если то выражение в скобках положительно, если же то оно отрицательно. Такие же знаки будут иметь выражения при остальных степенях: Значит, если и одного знака, то равенство невозможно. Итак, любые две последовательные точки касания должны находиться по разные стороны от оси И в силу нечетности касательная в точке не может пройти через точку
Второе решение. Заметим, что функция при и нечетном выпукла на и вогнута на Многочлен представляется в виде суммы нескольких функций такого вида, потому что является нечетной функцией, а его коэффициенты неотрицательные. Тогда функция также выпукла на и вогнута на Это означает, что касательная в точке графика с положительной абсциссой вторично не пересекает график в точках с неотрицательной абсциссой, и наоборот. Кроме того, касательная к графику в нуле не имеет с ним больше общих точек. Это означает, что абсциссы точек отличны от нуля, а их знаки чередуются. Тогда у точек и абсциссы одного знака, поэтому касательная в точке не проходит через точку
Не может
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!