Задачи из сборника И.В. Ященко ЕГЭ —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 16. Сложные задачи прикладного характера

16.02 Задачи из сборника И.В. Ященко ЕГЭ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#72048

В октябре 2027 года Анна планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 4 350 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;

— в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028-2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года;

— в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;

— к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составить 6 025 тыс. рублей. Сколько рублей составит выплата в 2031 году?

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 7

Показать ответ и решение

Пусть $S = 4350$ тыс. рублей. Составим таблицу, отслеживающую сумму долга в течение всего действия кредита. Пусть $A$ тыс. рублей — сумма, на которую уменьшается долг в течение первых пяти лет кредитования, а $x$ тыс. рублей — равные выплаты по кредиту в 2033 и 2034 годах.

|---|---------------------|-----------------------|--------------| |Год|-Сумма-до начисления-%|С-ум-ма после начисления %--В-ыплата---| |28-|----------S----------|--------S+-0,1S--------|---0,1S+-A----| |29-|--------S-− A--------|----S−-A-+-0,1(S−-A)----|-0,1(S-−-A)+-A-| |30 | S− 2A | S− 2A + 0,1(S− 2A) | 0,1(S− 2A)+ A | |---|---------------------|-----------------------|--------------| |31-|--------S−-3A--------|---S−-3A-+-0,1(S−-3A)---|-0,1(S−-3A)+-A-| |32-|--------S−-4A--------|---S−-4A-+-0,1(S−-4A)---|-0,1(S−-4A)+-A-| |33-|--------S−-5A--------|-------1,1(S−-5A)-------|------x-------| |34 | 1,1(S − 5A)− x | 1,1(1,1(S− 5A)− x) | x | ------------------------------------------------------------------

Таким образом, так как к концу 2034 года долг выплачен полностью, то получаем следующее уравнение:

1,1(1,1(S − 5A )− x)− x = 0 1,12(S− 5A) =x(1,1+ 1)

Из условия общая сумма выплат равна 6 025 тыс. рублей. Следовательно, получаем еще одно равенство:

0,1(S+ S − A + S− 2A + S− 3A +S − 4A)+ 5A+ 2x= 6025

В итоге получаем следующую систему:

( ||| 1,12(S− 5A)= x(1,1 +1) { ||| 0,1(S+ S − A + S− 2A + S− 3A+ S − 4A )+ 5A + 2x= 6025 ( S = 4350 ( { 1,21(4350 − 5A) = 2,1x ( 0,1(5⋅4350− 10A )+5A + 2x= 6025

Из второго уравнения следует, что $x= 1925− 2A.$ Подставим это значение в первое уравнение и получим

1,21⋅4350− 1,21⋅5A = 2,1(1925− 2A) ⇔ A = 660

Следовательно, выплата в 2031 году в тыс. рублей равна

x2031 = 0,1(S− 3A)+ A = 897

Ответ:

897 тыс. рублей

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#72049

В августе 2027 года Дмитрий планирует взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг увеличивается на 14% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июль необходимо выплатить часть долга;

— в августе каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на август предыдущего года;

— к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите сумму кредита (в млн рублей), если она на 1 700 тыс. рублей меньше суммы общих выплат по кредиту.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 7

Показать ответ и решение

Пусть $S$ млн рублей — сумма, взятая в кредит. Составим таблицу, отслеживающую сумму долга в течение всего действия кредита. Пусть $x$ млн рублей — сумма, на которую уменьшается долг каждый год в течение всего срока кредитования.

|Год|-Сумма-до начисления-%|С-ум-ма после начисления %---Выплата----| |---|---------------------|-----------------------|---------------| |28-|----------S----------|--------S+-0,1S--------|----0,1S-+-x----| |29-|--------S-−-x--------|----S-− x-+-0,1(S−-x)---|-0,1(S−-x)+-x--| -30----------S−-2x------------S-− 2x-+-0,1(S−-2x)----0,1(S-−-2x)+-x--| |31 | S− 3x | S − 3x + 0,1(S− 3x) | 0,1(S − 3x)+ x | |---|---------------------|-----------------------|---------------| |32-|--------S−-4x--------|---S−-4x+-0,14(S-− 4x)--|-0,14(S−-4x)+-x-| |33-|--------S−-5x--------|---S−-5x+-0,14(S-− 5x)--|-0,14(S−-5x)+-x-| |34-|--------S−-6x--------|---S−-6x+-0,14(S-− 6x)--|-0,14(S−-6x)+-x-| |35 | S− 7x | S− 7x+ 0,14(S − 7x) | 0,14(S− 7x)+ x | ------------------------------------------------------------------

Так как к августу 2035 года кредит должен быть полностью погашен, то $s− 8x =0,$ откуда $S = 8x.$

По условию, если $∑$ — общая сумма выплат в млн рублей, то $∑ −S =1,7.$ По таблице имеем:

∑ = 0,1(S +S − x+ S− 2x+ S − 3x)+ +0, 14(S − 4x +S − 5x+ S− 6x+ S − 7x)+ 8x= = 0,96S +4,32x

Тогда получаем уравнение

0,96S+ 4,32x− S = 1,7

Так как $x = 1S, 8$ то

0,96S + 4,32⋅ 1S− S = 1,7 ⇔ S = 3,4 8

Ответ:

3,4 млн рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#72050

В июне 2028 года Ольга планирует взять кредит в банке N на 4 года в размере 3,6 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2029 и 2030 годов долг увеличивается на $r%$ от суммы долга на конец предыдущего года;

— в январе 2031 и 2032 годов долг увеличивается на 18% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2032 года кредит должен быть погашен полностью.

Ольге предложили взять кредит в банке G на таких же условиях, но только в первые два года долг будет увеличиваться на 18%, а в последующие два года — на $r%.$ Найдите $r,$ если общая сумма выплат по кредиту в банке G больше суммы выплат в банке N на 162 тыс. рублей.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 7

Показать ответ и решение

Пусть $S = 3600$ тыс. рублей, $t =0,01r,$ $x$ и $y$ тыс. рублей — суммы, на которые долг уменьшается каждый год в течение всего срока кредитования в каждом из банков. Составим таблицу, отслеживающую изменения долга с 2028 по 2032 годы.

Для банка N:

|---|---------------------|-----------------------|---------------| |Год|-Сумма-до начисления-%|С-ум-ма после начисления %---Выплата----| |29-|----------S----------|---------S+-tS---------|-----tS-+-x-----| |30-|--------S-−-x--------|-----S-− x-+t(S−-x)----|--t(S−-x)+-x---| |31 | S− 2x | S− 2x+ 0,18(S − 2x) | 0,18(S− 2x)+ x | |---|---------------------|-----------------------|---------------| -32----------S−-3x------------S−-3x+-0,18(S-− 3x)----0,18(S−-3x)+-x-|

Для банка G:

|Год|-Сумма-до начисления-%|С-ум-ма после начисления %--Вы-плата----| |---|---------------------|-----------------------|--------------| |29-|----------S----------|-------S-+-0,18S--------|---0,18S-+y----| |30-|--------S-−-y--------|----S−-y+-0,18(S-− y)---|-0,18(S−-y)+-y-| |31-|--------S−-2y--------|----S-− 2y-+t(S−-2y)---|-t(S−-2y)+-y--| |32 | S− 3y | S − 3y +t(S− 3y) | t(S− 3y)+ y | -----------------------------------------------------------------

Тогда, так как в 2032 году долг выплачен полностью, то $s− 4x= 0$ и $S − 4y = 0,$ откуда $S = 4x$ и $x= y.$ Если $∑$ — общая сумма выплат, то

∑ ∑ G − N = 162

Найдем общие суммы выплат:

∑ = 0,18(S + S− x)+ t(S − 2x +S − 3x)+4x G ∑ = t(S + S− x)+ 0,18(S − 2x +S − 3x)+4x N

Тогда имеем:

∑ ∑ − = (0,18− t)(2S − x)− (0,18− t)(2S− 5x)= 4x(0,18− t) G N

Получаем уравнение

162= 3600(0,18− t) ⇔ t= 0,135 ⇒ r = 13,5

Ответ:

13,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#72051

В сентябре 2027 года Михаил планирует взять кредит в банке на 6 лет в размере 1 500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– в январе 2028, 2029 и 2030 годов долг увеличивается на $r%$ от суммы долга на конец предыдущего года;

– в январе 2031, 2032 и 2033 годов долг увеличивается на $(r+ 3)%$ от суммы долга на конец предыдущего года;

– в период с февраля по август необходимо выплатить часть долга;

– в сентябре каждого года действия кредита долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на сентябрь предыдущего года;

– к сентябрю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите $r,$ если общая сумма выплат по кредиту должна составить 2 175 тыс. рублей.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 9

Показать ответ и решение

Пусть $S = 1500$ тыс. рублей, $t =0,01r,$ $p= 0,01(r+ 3),$ $x$ тыс. рублей — сумма, на которую долг уменьшается каждый год в течение всего срока кредитования. Составим таблицу, отслеживающую изменения долга с 2027 по 2033 годы.

|Год|-Сумма-до начисления-%|С-ум-ма после начисления %-В-ыплата---| |---|---------------------|-----------------------|------------| |28-|----------S----------|---------S+-tS---------|---tS-+x----| |29-|--------S-−-x--------|-----S-− x-+t(S−-x)----|-t(S-−-x)+-x-| -30----------S−-2x-------------S-− 2x-+t(S−-2x)-----t(S-− 2x)+-x- |31 | S− 3x | S − 3x +p(S− 3x) | p(S − 3x)+ x| |---|---------------------|-----------------------|------------| |32-|--------S−-4x--------|----S-− 4x-+p(S−-4x)---|-p(S-− 4x)+-x| -33----------S−-5x-------------S-− 5x-+p(S−-5x)-----p(S-− 5x)+-x-

По условию имеем:

S − 6x = 0 ⇔ S = 6x

Общая сумма выплат по кредиту составляет

∑ =t(S+ S − x + S− 2x)+ +p (S − 3x+ S− 4x+ S − 5x)+ 6x = = S(0,035r+ 1,03)= 2175

Так как $S = 1500,$ то окончательно получаем

0,035r = 2175− 1,03 =0,42 ⇔ r = 12 1500

Ответ:

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#45986

В июле 2027 года планируется взять кредит на 3 года в размере 1200 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый год долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— платежи в 2028 и 2029 годах должна быть равными;

— к июлю 2030 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платеж в 2030 году составил 673,2 тыс. рублей. Сколько рублей составит платеж в 2028 году?

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 11

Показать ответ и решение

Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв $S$ тыс. рублей $= 1200$ тыс. рублей, а за $x$ тыс. рублей — платеж в 2028 и 2029 годах. Соответственно все неизвестные в таблице измеряются в тыс. рублей.

|-----|-------------------|----------------------|--------| |Год |Долг до начисления %|Долг после начисления %|П латеж | |2028-|--------S----------|--------1,1S----------|---x----| |-----|-------------------|--------2-------------|--------| |2029-|-----1,1S−-x-------|-----1,1-S−-1,1x-------|---x----| -2030----1,12S-−-1,1x-− x------1,13S-−-1,12x−-1,1x----y =-673,2-

Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:

3 2 1,1 S− (1,1 +1,1)x− y = 0

Выразим из этого уравнения $x$ и найдем его:

x= 1,13⋅1200−-673,2 = 1,12+ 1,1 2 = 1,1(1,1-⋅1200−-612)= 1,1(1,1+ 1) 121 ⋅12 − 612 = ----2,1---- = = 120(121−-51) = 21 = 400

Следовательно, платеж в 2028 году составил 400 тыс. рублей.

Ответ:

400 тыс. рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#45987

В июле 2027 года планируется взять кредит на 3 года в размере 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь в течение срока действия кредита долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в 2028 и 2029 годах платежи по кредиту равные;

– в 2030 году выплачивается остаток по кредиту.

Найдите платеж в 2029 году, если общие выплаты по кредиту составили 733,5 тыс. рублей.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 12

Показать ответ и решение

Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв $S$ тыс. рублей $= 600$ тыс. рублей, за $x$ тыс. рублей — платеж в 2028 и 2029 годах, за $y$ тыс. рублей — платеж в 2030 году. Соответственно все неизвестные в таблице измеряются в тыс. рублей.

|Год--|Д-олг-до начисления-%|Д-олг после начисления-%|П-латеж-| |----|-------------------|----------------------|--------| |2028-|---------S---------|---------1,1S---------|---x----| |2029-|------1,1S-−-x------|------1,12S-− 1,1x-----|---x----| -2030-----1,12S-− 1,1x−-x------1,13S−-1,12x−-1,1x-------y-----

Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:

3 2 1,1 S− (1,1 +1,1)x− y = 0 (1)

Пусть $P = 733,5$ тыс. рублей — общая сумма выплат по кредиту. Следовательно,

P = 2x+ y ⇔ y = P − 2x

Подставляя это в уравнение (1), получим уравнение на $x :$

1,13S− (1,12+ 1,1− 2)x − P = 0 ⇔ 1,13S− P 1,13⋅600− 733,5 ⇔ x = 1,12+-1,1−-2-= -1,21-+1,1−-2--= = 798,6−-733,5= 65,1= 210 0,31 0,31

Следовательно, платеж в 2029 году составил 210 тыс. рублей.

Ответ:

210 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#45988

В июле Максим планирует взять кредит в банке на некоторую сумму. Банк предложил Максиму два варианта кредитования.

1-й вариант::

— кредит предоставляется на 3 года;

— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 20% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь каждого года действия кредита выплачиваются равные суммы, причем последний платеж должен погасить долг по кредиту полностью.

2-й вариант::

— кредит предоставляется на 2 года;

— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 24%;

Когда Максим подсчитал, то выяснил, что общая сумма выплат по 1-му варианту кредитования на 373 600 рублей больше, чем по 2-му варианту. Какую сумму Максим планирует взять в кредит?

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 13

Показать ответ и решение

Составим для каждого варианта таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв за $S$ тыс. рублей — сумму, которую планируется взять в кредит, за $x$ тыс. рублей — ежегодный платеж по 1-му варианту, за $y$ тыс. рублей — ежегодный платеж по 2-му варианту. Соответственно все неизвестные в таблицах измеряются в тыс. рублей.

1-й вариант:

|----|-------------------|----------------------|-------| |Год-|Долг до-начисления-%|Долг-после-начисления %-|Платеж-| |1---|--------S----------|---------1,2S----------|---x---| |2 | 1,2S − x | 1,22S− 1,2x | x | |3---|--1,22S−-1,2x-−-x---|--1,23S−-1,22x-− 1,2x--|---x---| ---------------------------------------------------------

Так как после последнего платежа долг банку должен быть полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:

1,23S− (1,22 +1,2+ 1)x= 0

2-й вариант:

|----|-------------------|----------------------|-------| |Год |Долг до начисления %|Долг после начисления % |Платеж | |1---|--------S----------|--------1,24S---------|---y---| |----|-------------------|--------2-------------|-------| -2---------1,24S−-y------------1,24-S−-1,24y---------y----

Так как после последнего платежа долг банку должен быть полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:

1,242S− (1,24+ 1)y = 0

Так как общая сумма выплат по 1-му варианту на 373,6 тыс. рублей больше общей суммы выплат по второму варианту, то

3x− 2y = 373,6

Следовательно, получаем:

1,23S 1,242S 3 ⋅1,22-+1,2+-1-− 2 ⋅1,24-+1-= 373,6 ⇔ ( ) -3⋅123 2-⋅1242- S ⋅ 10 ⋅364 − 224⋅100 = 373,6 ⇔ ( ) S ⋅ -32⋅122 − -312- = 373,6 ⇔ 10 ⋅7⋅13 7⋅100 S ⋅ 12916000−⋅71⋅214393= 371306- ⇔ S = 3736⋅10⋅7⋅13 = 8⋅10⋅7⋅13= 7280 467

Следовательно, Максим планирует взять в кредит 7 280 тыс. рублей $=$ 7,28 млн рублей.

Ответ:

7,28 млн рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#46016

В июне 2025 года Вадим Олегович планирует взять кредит в банке на 4 года. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь каждого из 2026, 2027 и 2028 годов необходимо выплатить часть долга, причем каждый из платежей в 2027 и 2028 годов в 1,5 раза больше платежа предыдущего года;

— в период с февраля по июнь 2029 года выплачивается оставшаяся сумма по кредиту, равная 3 304 840 рублей.

Найдите сумму кредита, если общие выплаты по нему составили 10 904 840 рублей.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 15

Показать ответ и решение

Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв за $S$ рублей сумму, которую планируется взять в кредит, за $x$ рублей — платеж в 2026 году. Соответственно все неизвестные в таблице измеряются в рублях.

|----|---------------------|------------------------|-----------| |Год | Долг до начисления % | Долг после начисления % | Платеж | |2026-|----------S----------|----------1,1S-----------|----x------| |----|---------------------|---------2--------------|-----------| |2027-|-------1,1S-−-x-------|------1,1-S−-1,1x-------|-1,5x=-y---| |2028-|---1,12S−-1,1x−-y----|---1,13S-−-1,12x-− 1,1y---|-1,5y =-z--| |2029 |1,13S− 1,12x − 1,1y− z|1,14S − 1,13x− 1,12y − 1,1z |t= 3304840 | ----------------------------------------------------------------

Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:

4 3 2 1,1 S − 1,1 x− 1,1 y− 1,1z− t= 0

Подставим в это уравнение $y = 1,5x,$ $2 z = 1,5x,$ $t= 3304 840$ и выразим $S :$

1 ( 2 2 ) S = 1,14 ⋅ 1,1(1,1 +1,1⋅1,5+ 1,5)x+ 3304840 (∗)

Общая сумма выплат равна

x+ y+ z +t= (1+ 1,5+ 1,52)x+ 3304840= 10904840 ⇔ x= 10-904-840-− 3-304840-= 7600000 1 +1,5+ 1,52 4,75

Подставим $x$ в уравнение $(∗):$

104 (11 511 7600000 ) S = 114 ⋅ 10 ⋅100 ⋅ 4,75 +3 304840 = 104 = 114 ⋅(8993 600 +3 304 840)= 4 = 104 ⋅12298440= 11 = 104 ⋅840 = = 8400000

Следовательно, в кредит планируется взять 8,4 млн рублей.

Ответ:

8,4 млн рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#46038

15 июня 2025 года Сергей Данилович планирует взять кредит в банке на 4 года в размере целого числа миллионов рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15% от суммы долга на конец предыдущего года;

— в период с февраля по июнь каждого из 2026 и 2027 годов необходимо выплатить только начисленные в январе проценты по кредиту;

— в период с февраля по июнь в каждый из 2028 и 2029 годов выплачиваются равные суммы, причем последний платеж должен погасить долг по кредиту полностью.

Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат по кредиту превысит 12 млн рублей.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 17

Показать ответ и решение

Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв за $S$ млн рублей сумму, которую планируется взять в кредит, за $x$ млн рублей — платеж в 2028 и 2029 годах. Соответственно все неизвестные в таблице измеряются в млн рублей.

|Год--|Д-олг-до начисления-%|Д-олг после начисления-%|П-латеж-| |----|-------------------|----------------------|--------| |2026-|---------S---------|---------1,15S---------|-0,15S--| |2027-|---------S---------|---------1,15S---------|-0,15S--| -2028-----------S-------------------1,15S-------------x----- |2029 | 1,15S− x | 1,152S − 1,15x | x | ----------------------------------------------------------

Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:

1,152S 1152S 1,152S− (1,15+ 1)x= 0 ⇔ x = 1,15-+1-= 21500

Общая сумма выплат по кредиту равна

0,15S ⋅2+ 2x> 12

Подставим в это неравенство $x$ и выразим $S :$

( 3- 2⋅1152) S⋅ 10 + 21500 > 12 ⇔ 3-⋅2150-+2-⋅1152 S⋅ 21500 >12 ⇔ 6 860 S > --12--⋅21500------ ⇔ 2 ⋅ 25 (3⋅43 +232) S > 5160- ⇔ 658 277 S > 7 329

Следовательно, наименьшее целое $S = 8$ (млн рублей).

Ответ:

8 млн рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#46039

В июле Егор планирует взять кредит на 3 года на целое число миллионов рублей. Два банка предложили Егору оформить кредит на следующих условиях:

— в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на некоторое число процентов (ставка плавающая — может быть разной для разных годов);

В первом банке процентная ставка по годам составляет 15, 20 и 10 процентов соответственно, а во втором — 20, 10 и 15 процентов соответственно. Егор выбрал наиболее выгодное предложение. Найдите сумму кредита, если эта выгода по общим выплатам по кредиту составила от 13 до 14 тысяч рублей.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 19

Показать ответ и решение

Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг, приняв за $S$ млн рублей сумму, которую планируется взять в кредит, за $x$ млн рублей — ежегодный платеж в первом банке, за $y$ млн рублей — ежегодный платеж во втором банке. Соответственно все неизвестные в таблице измеряются в млн рублей.

Первый банк:

|----|-------------------|----------------------|-------| |Год-|Долг до-начисления-%|Долг-после-начисления %-|Платеж-| |1---|--------S----------|--------1,15S---------|---x---| |2 | 1,15S − x | 1,2(1,15S − x) | x | |3---|--1,2(1,15S-−-x)− x--|-1,1(1,2(1,15S-− x)−-x)-|---x---| ---------------------------------------------------------

Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:

1,1(1,2(1,15S − x)− x)− x = 0

Второй банк:

|----|-------------------|----------------------|-------| |Год |Долг до начисления %|Долг после начисления % |Платеж | |1---|--------S----------|---------1,2S----------|---y---| |----|-------------------|----------------------|-------| |2---|------1,2S-− y------|-----1,1(1,2S-− y)-----|---y---| -3------1,1(1,2S−-y)−-y-----1,15(1,1(1,2S-− y)−-y)-----y----

Так как после последнего платежа долг банку полностью выплачен, то получаем следующее уравнение:

1,15(1,1(1,2S− y)− y)− y = 0

Пусть $1,1⋅1,15⋅1,2= a.$ Тогда можно выразить $x$ и $y :$

x = aS-- 3,42 aS y = 3,415-

Видим, что $x< y.$ Следовательно, $3x < 3y,$ то есть общая сумма выплат в первом банке меньше общей суммы выплат во втором банке, следовательно, предложение, поступившее от первого банка, выгоднее, чем от второго. Эта выгода по общим выплатам равна $3y− 3x.$ Следовательно, получаем:

0,013< 3y− 3x< 0,014 ⇒ ( ) 0,013< 3⋅ 11-⋅115-⋅12 ⋅--1--− -1-- ⋅S < 0,014 ⇔ 10 000 3,415 3,42 1 2 3---⋅11-⋅115-⋅ 12-⋅5⋅10 13 < 3415 683⋅342 19 ⋅S <14 ⇔ -13⋅683⋅19-< S < 7-⋅683⋅19- ⇔ 11⋅2⋅115⋅10 11⋅115⋅10 16901 2 289 6 25300 < S < 712650

Следовательно, целое $S = 7$ (млн рублей).

Ответ:

7 млн рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#20064

В июле 2023 года планируется взять кредит на 10 лет на некоторую сумму. Условия возврата таковы:
- каждый январь с 2024 по 2028 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
- каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите сумму, которую планируется взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1470 тыс. рублей.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 22

Показать ответ и решение

Пусть $S$ тыс. руб. — размер взятого кредита. Кредит взят на 10 лет, то есть число периодов выплат $n = 10$ . $r1 = 0,18$ — доля, на которую растёт долг после начисления процентов с 2024 по 2028 год. $r2 = 0,16$ — доля, на которую растёт долг после начисления процентов с 2029 по 2033 год. Поскольку долг должен уменьшаться на одну и ту же величину после каждого платежа, то каждый месяц долг должен уменьшаться на $S -n$ тыс. руб., и мы получим схему дифференцированных платежей. Составим таблицу:


Номер	Долг до начисления процентов, тыс. руб.	Долг после начисления процентов, тыс. руб.	Выплаты, тыс. руб.

1	S	S(1 + r₁)	$S n-$ + $n n-$ Sr₁

2	$n-− 1 n$ S	$n−-1- n$ S(1 + r₁)	$S- n$ + $n-−-1 n$ Sr₁

3	$n-− 2 n$ S	$n−-2- n$ S(1 + r₁)	$S- n$ + $n-−-2 n$ Sr₁
…	…	…	…
5	$n − 4 ----- n$ S	$n− 4 ----- n$ S(1 + r₁)	$S -- n$ + $n − 4 ----- n$ Sr₁

6	$n − 5 --n--$ S	$n− 5 --n--$ S(1 + r₂)	$S n-$ + $n − 5 --n--$ Sr₂

7	$n − 6 --n--$ S	$n− 6 --n--$ S(1 + r₂)	$S n-$ + $n − 6 --n--$ Sr₂
…	…	…	…
n	$1- n$ S	$1- n$ S(1 + r₂)	$S- n$ + $1- n$ Sr₂

Выплаты с первый по пятый период образуют арифметическую прогрессию с шагом $d = Sr1 n$ , то же самое можно сказать про выплаты с шестой по десятый период: там шаг $d = Sr2 n$ . По формуле суммы челнов арифметической прогрессии с учётом того, что сумма всех выплат равна 1470 тыс. руб., получим уравнение:

$pict$

Таким образом, в кредит планируется взять сумму 750 тыс. руб.

Ответ: 750

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#20062

Клиент хочет открыть вклад на три года. По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 14% в течение каждого из первых двух лет.

Найдите наименьшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет более выгоден, чем вклад «А».

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 24

Показать ответ и решение

За один год по вкладу «А» сумма становится больше в 1,1 раза. Таким образом, за три года по вкладу «А» новая сумма будет составлять $1,13 = 1,331$ часть от первоначальной суммы.

Аналогично за один год по вкладу «Б» сумма становится больше в 1,14 раза. Таким образом, за два года по вкладу «Б» новая сумма будет составлять $2 1,14 = 1,2996$ часть от первоначальной суммы. Пусть в третий год начислили $x$ %, тогда к концу третьего года по вкладу «Б» будет получено $( -x) 1,2996 1+ 100$ от первоначальной суммы.

Требуется, чтобы вклад «Б» был более выгодным. Тогда имеем неравенство:

$pict$

Поскольку требуется наименьшее натуральное решение, получим $x= 3$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#72052

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 6 лет на сумму 300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньша долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 498 тыс. рублей. Найдите $r.$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024г. Вариант 25

Показать ответ и решение

Пусть $S = 300$ тыс. рублей, $t= 0,01r,$ $x$ тыс. рублей — сумма, на которую долг уменьшается каждый год в течение всего срока кредитования. Составим таблицу, отслеживающую изменения долга с 2025 по 2031 годы.

|Год|-Сумма-до начисления-%|С-ум-ма после начисления %--Вы-плата----| |---|---------------------|-----------------------|--------------| |26-|----------S----------|--------S+-0,2S--------|---0,2S+-x----| |27-|--------S-−-x--------|----S-− x-+-0,2(S−-x)---|-0,2(S-−-x)+x--| -28----------S−-2x------------S-− 2x-+-0,2(S−-2x)----0,2(S−-2x)+-x-- |29 | S− 3x | S − 3x +t(S− 3x) | t(S− 3x)+ x | |---|---------------------|-----------------------|--------------| |30-|--------S−-4x--------|----S-− 4x-+t(S−-4x)---|-t(S−-4x)+-x--| -31----------S−-5x-------------S-− 5x-+t(S−-5x)-----t(S−-5x)+-x---

Так как после последнего платежа долг полностью выплачен, то $S − 6x = 0,$ откуда $S = 6x.$ Общая сумма выплат по кредиту равна

∑ =0,2(S+ S − x + S− 2x)+ +t(S − 3x + S− 4x+ S − 5x)+ 6x= = S(1,5+ t)

Тогда получаем уравнение

300(1,5+ t)= 498 ⇔ t= 0,16 ⇒ r = 16

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#46080

Производство $x$ тыс. единиц продукции обходится в $q = 2x2+ 5x + 10$ млн рублей в год. При цене $p$ тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет $px − q.$ При каком наименьшем значении $p$ через 12 лет суммарная прибыль может составить не менее 744 млн рублей при некотором значении $x?$

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 27

Показать ответ и решение

Если за 12 лет суммарная прибыль составит 744 млн рублей, то за 1 год она составит $744:12= 62$ млн рублей. Следовательно, нам необходимо найти наименьшее $p,$ при котором возможно неравенство

2 px− 2x − 5x− 10≥ 62

То есть это неравенство может иметь решения. Перепишем его в виде

2 y(x)= 2x − (p − 5)x+ 72≤ 0

Графиком функции $2 y = y(x) = 2x − (p− 5)x+ 72$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола будет иметь хотя бы одну точку, находящуюся не выше оси абсцисс (то есть точку, значение функции в которой $≤ 0$ ), если ордината вершины параболы будет неположительной (то есть $≤ 0$ ).

Найдем абсциссу вершины параболы:

p − 5 x0 =--4-

Тогда ордината вершины параболы равна

2 y(x0) =− (p−-5)-+ 72 8

Следовательно, получаем неравенство

2 − (p−-5)-+ 72 ≤ 0 ⇔ (p − 5)2 ≥ 242 ⇒ p≥ 29 (так как p> 0) 8

Следовательно, наименьшее $p =29.$

Ответ: 29

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#38173

В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остается равным 1050 тыс. рублей;

– выплаты в 2026 и 2027 годах равны;

– к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью.

На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 31

Показать ответ и решение

Составим таблицу в тыс. рублей, где $x$ тыс. рублей — платеж в 2026 и 2027 годах.

|------|------------|---------------|---------|---------------------| |-Год--|-Д-олг до %-|--Долг после %-|В-ыплата-|--Долг после выплаты-| |22−-23|----1050----|-1050-+0,1⋅1050-|0,1⋅1050-|--------1050---------| |23−-24|----1050----|-1050-+0,1⋅1050-|0,1⋅1050-|--------1050---------| |24−-25|----1050----|-1050-+0,1⋅1050-|0,1⋅1050-|--------1050---------| |25−-26|----1050----|---1,1⋅1050----|---x-----|-----1,1-⋅1050−-x------| -26−-27-1,1⋅1050−-x--1,1(1,1⋅1050−-x)----x------1,1(1,1⋅1050-− x)−-x-=-0

По условию после последней выплаты долг должен быть равен нулю, следовательно,

1,12⋅1050 1,1(1,1⋅1050− x)= x ⇔ 1,12⋅1050− (1,1+ 1)x = 0 ⇔ x= ---2,1---

Таким образом, последняя выплата больше первой на

2 x − 0,1⋅1050= 1,1-⋅1050− 0,1⋅1050 = 605 − 105 =500 2,1

Ответ: 500 тыс. рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#73002

В июле 2025 года планируется взять кредит на пять лет в размере 220 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле 2026, 2027 и 2028 годов долг остается равным 220 тыс. рублей;

– выплаты в 2029 и 2030 годах равны;

– к июлю 2030 года долг будет выплачен полностью.

Найдите $r,$ если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 420 тыс. рублей.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 32

Показать ответ и решение

Пусть $S = 220$ тыс. рублей, $t= 0,01r,$ $∑ = 420$ тыс. рублей. Составим таблицу, позволяющую отслеживать долг в течение всего периода кредитования. Пусть $x$ тыс. рублей — выплата в 2029 и 2030 годах.

|----|---------------------|-----------------------|--------| |Год |Сумм а до начисления %|Сумма после начисления %|Вы плата | |-26-|---------S-----------|--------S-+-tS----------|---tS----| |----|---------------------|-----------------------|--------| |-27-|---------S-----------|--------S-+-tS----------|---tS----| |-28-|---------S-----------|--------S-+-tS----------|---tS----| | 29 | S | (1 +t)S | x | |-30-|-----(1+-t)S-−-x------|---(1+-t)((1-+t)S−-x)----|---x----| ------------------------------------------------------------|

Так как долг в 2030 году выплачен полностью, то получаем следующее уравнение:

(1+ t)((1 + t)S− x)− x =0 (1+ t)2S x= --2+-t--

Также по условию сумма выплат равна

∑ = 3tS+ 2x

Таким образом, имеем систему:

( (1+ t)2S |||||x = --2+-t-- ||{∑ |∑ = 3tS + 2x |||| = 420 ||(S = 220

Отсюда получаем

55t2 +89t− 20= 0 ⇒ D = 1112 t= 0,2 ⇒ r = 20

Ответ:

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#17143

Алексей планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере 1806000 рублей. Сотрудник банка предложил Алексею два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.


Вариант 1	– каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
	– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
	– кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами

Вариант 2	– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
	– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
	– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
	– к 15-му числу 24-го месяца кредит должен быть полностью погашен

На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Алексея варианту погашения кредита?

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 33

Показать ответ и решение

Обозначим размер кредита $S =1806000$ рублей. Далее все расчеты будем вести в рублях.

Рассмотрим первый вариант.

Пусть размер выплаты равен $x,$ тогда в первый год после начисления процентов сумма долга составила $1,15S,$ а после выплаты составила $1,15S− x.$

На второй год сумма сначала увеличилась до $1,15(1,15S − x),$ а затем была полностью выплачена, то есть сокращена до нуля. Тогда имеем уравнение:

1,15(1,15S − x)− x = 0 1,152S = 2,15x x= 1,152S-= 1110900 2,15

Общая сумма выплат в рублях в первом варианте равна

2x = 2221800

Рассмотрим второй вариант.

Пусть каждый месяц разница между значением долга до начисления процентов и после начисления и выплаты равна $Δ.$ По условию это некоторая константа, одинаковая для всех 24-х месяцев, из этого следует, что $S Δ = 24,$ то есть каждый месяц долг сокращался на $S-. 24$

Тогда если долг в начале месяца был равен $b,$ а в конце месяца — $e,$ то несложно посчитать, какой была выплата:

p = 1,02b− e

Исходя из вышесказанного, составим таблицу.

|---------|-------------------|---------------------|-----------------|------------------| |№ месяца |Долг до начисления %|Долг после начисления% Разм ер выпла | 1 | S | S + 0,02S | 124S + 0,02S | 2234S | |---...----|--------...---------|---------...---------|-------...-------|--------...--------| |---------|------24−k+1--------|24−k+1--------24−k+1--|-1--------24−k+1--|-------24−k--------| |---k-----|-------24--S-------|--24--S+-0,02⋅--24--S-|24S-+0,02⋅--24--S-|-------24-S-------| |---...----|--------...---------|---------...---------|-------...-------|--------...--------| ----24------------214S--------------124S+-0,02⋅-124S--------214S+-0,02-⋅ 124S-----------0----------

Суммируя выплаты в рублях по всем месяцам, получим

( ) 23 1- S+ 0,02S ⋅ 1+ 24 + ...+ 24 = ( 25 ) = S ⋅ 1+ 0,02⋅24 ⋅12 = 1,25S = 2257500

Тогда искомая разница в рублях равна

2257500− 2221800= 35700

Ответ:

35700 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#20087

15 января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за 15-й месяц кредитования нужно выплатить 44 тыс. рублей.

Сколько тысяч рублей нужно будет вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Источник: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 35

Показать ответ и решение

Пусть $S$ тыс. руб. — размер взятого кредита. Кредит взят на 2 года с помесячной оплатой, то есть число периодов выплат $n= 24.$ Пусть $r = 0,01$ — доля, на которую растёт долг после начисления процентов.

Поскольку долг должен уменьшаться на одну и ту же величину после каждого платежа, то эта величина составляет $S- n$ тыс. руб. Составим таблицу, отображающую состояние долга.

|-----|------------------|------------------|---------------| М есяц |Долг до начисления Долг после начисленияВыплаты, ты с. руб. | |процентов, тыс. руб.|процентов, тыс. руб. | |-----|------------------|------------------|---------------| | 1 | S | S(1+ r) | S+ nSr | |-----|------------------|------------------|----n--n-------| | 2 | n−-1S | n-− 1S(1+ r) | S-+ n−-1Sr | |-----|-------n----------|-----n------------|--n----n-------| | 3 | n−-2S | n-− 2S(1+ r) | S-+ n−-2Sr | | | n | n | n n | | ... | ... | ... | ... | | | | | | | 15 | n-− 14S | n−-14S(1 + r) | S+ n-−-14Sr | | | n | n | n n | | ... | ... | ... | ... | | | | | | | n | 1S | 1S(1+ r) | S+ 1Sr | --------------n----------------n-----------------n--n-------|

Поскольку за 15-ый месяц кредитования нужно выплатить 44 тыс. рублей, то получим равенство

$S-+ n−-14Sr = 44 (n n ) 1 10 S 24+ 24⋅0,01 = 44 1,1 24 S = 44 ⇔ S = 960$

Выплаты образуют убывающую арифметическую прогрессию с разностью $d = − Sr. n$ По формуле суммы членов арифметической прогрессии найдём сумму всех выплат:

$S S 1 ( ) n+ Sr+ n-+ nSr n+ 1 -------2-------⋅n = S 1+ r-2--- = ( ) 25 = 960⋅ 1 +0,01⋅2 =960⋅1,125 = 1080$

Таким образом, вернуть банку в течение всего срока кредитования нужно 1080 тыс. руб.

Ответ: 1080

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#24471

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 220 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению c концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 220 тысяч рублей;

— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите $r,$ если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 420 тысяч рублей.

Источник: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Обозначим размер кредита за $S = 220$ тыс. рублей. Кредит взят в июле 2026 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.

Обозначим выплаты за 2030 и 2031 год за $S1$ (из условия они равны).

Из условия, в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным 220 тысяч рублей, то есть равным $S.$

Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что:

1. Значение в столбце "Выплата" за 2027, 2028 и 2029 год будет равно разности соответствующих значений в столбцах "Сумма долга после начисления процентов" и "Сумма долга после выплаты"

2. Сумма долга после выплаты за 2030 и 2031 года будет равна разности соответствующих значений в столбцах "Сумма долга после начисления процентов" и "Выплата".

Год

Сумма долга

до начисления %

Сумма долга

после начисления %

Выплата

Сумма долга

после выплаты

2027 год

$S$

$( r) S 1+ 100-$

$( r) S 1+ 100-− S$

$S$

2028 год

$S$

$( r) S 1+ 100-$

$( r) S 1+ 100-− S$

$S$

2029 год

$S$

$( -r) S 1+ 100$

$( -r) S 1+ 100 − S$

$S$

2030 год

$S$

$( -r) S 1+ 100$

$S1$

$( -r) S 1+ 100 − S1$

2031 год

$S(1+ -r-)− S1 100$

$(S(1+ -r-)− S1)(1+ r-) 100 100$

$S1$

$(S(1+ -r-)− S1) (1 + r-)− S1 100 100$

Отметим, что кредит был погашен за 5 лет, то есть сумма долга после выплаты в 2031 году равна 0. Запишем это в виде уравнения:

$pict$

Обозначим $1 + -r-= q 100$ и перепишем уравнение:

$pict$

Известно, что общий размер выплат (сумма по столбцу "Выплата") составит 420 тыс. рублей. Запишем это в виде уравнения:

$pict$

Подставим сюда $S1$ и заменим $-r- 100$ на $q− 1:$

$pict$

Вспомним, что $-r- q = 1+ 100,$ то есть $r = 100⋅(q− 1).$ Подставим найденное значение $q$ :

-2 r = 100⋅10 =20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#20060

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,523 млн рублей.
Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Показать ответ и решение

Пусть $S$ тыс. руб. — размер взятого кредита. $16 k = 1+ --- = 1,16 100$ — во сколько раз увеличивается долг после начисления процентов. Пусть $x$ млн. руб. — ежегодный платёж. Составим таблицу:


Номер	Долг до начисления процентов, тыс. руб.	Долг после начисления процентов, тыс. руб.	Выплаты, тыс. руб.

1	S	1,16S	x

2	1,16S − x	1,3456S − 1,16x	x

Поскольку после последнего платежа кредит полностью погашен, получим уравнение:

1,3456S − 1,16x = x ⇔ S =-2,16x-= 2,16-⋅2,523-= 4,05 м лн. руб. 1,3456 1,3456

Ответ: 4,05

Предыдущий раздел

Следующий раздел