Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В теореме о согласованных базисах сказано, что подгруппа конечно порожденной свободной
абелевой группы вновь свободна, причем можно выбрать базис во всей группе так,
чтобы , .
a) Рассмотрим , - подгруппа в . Выбрать согласованные базисы в
и в .
b) А правда ли, что если взять произвольный базис группы , то, подобрав нужные
можно добиться того, чтобы
Или всё таки в для данной подгруппы годится не любой базис?
a) Базис в надо взять, например, такой:
Очевидно, что эти два элемента линейно независимы, и порождают всю группу (например
потому, что если отнять из первого элемента второй, то получим уже стандартный базис в
).
Тогда порождающая система в получается вот такой: , и поскольку элементы с нулевыми
коэффициентами мы конечно не пишем в базисе, то базис состоит только из элемента . Мы
видим, что базисы в и в действительно согласованы - все элементы базиса получаются из
элементов базиса умножением на какие-то целые числа (а именно, на 1 и на 0 соответственно);
b) Это неправда. Например, в можно выбрать и неудачный базис - в данном случае стандартный.
Действительно, если в качестве базиса в выбрать
То мы никак из этого базиса, умножая на какие угодно целые числа его элементы не
сможем получить никакой базис в . Действительно, если оба и взять с ненулевыми
коэффициентами, то это вновь будет базис , а не , а если одно из них занулить, то получим либо
целочисленную ось , либо целочисленную ось на плоскости, а нам-то нужна диагональ.
Вывод. Не любой базис объемлющей свободной группы можно досогласовать до базиса
её свободной подгруппы .
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!