Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Нет, так как если бы был изоморфизм , то, в частности, был бы биекцией и это бы
означало, что тоже как и счётно. Но - несчётно;
b) Нет, поскольку в есть элемент порядка 4, а именно это число . А в нет ни одного
элемента порядка 4, потому что уравнение имеет в только 2 решения - это , но оба эти
элемента имеют порядок 2 в . А при изоморфизме сохраняются все порядки всех элементов;
c) Нет, потому что - циклическая, а - нет. А при изоморфизме сохраняются все свойства группы,
в том числе и цикличность;
d) Нет, поскольку в есть элемент порядка 4, а именно это вычет . А в нет ни одного
элемента порядка 4, все нетривиальные элементы там имеют порядок 2;
e) Нет, потому что центр состоит из всех возможных матриц вида , где
(докажите!).
В то время как центр состоит из двух матриц - , если - четно и только из одной
матрицы , если - нечетно. А при изоморфизме центр переходит в центр. Получается, что у одной
группы центр всегда бесконечен, а у другой всегда конечен. Значит, между ними не может быть
изоморфизма. ;
f) Да, изоморфизм такой - вычету ставим в соответствие корень из единицы, имеющий
аргумент
;
g) Да. Изоморфизм
задается простой формулой
Как ни странно, а этот пример показывает удивительный случай - группа может
быть изоморфна своей собственной подгруппе, то есть подгруппе, не совпадающей со
всей группой;
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!