Пусть - функция, непрерывная на отрезке , , .

Пусть для определенности . Возьмём любое число .

Рассмотрим тогда вспомогательную функцию

Ясно, что - тоже непрерывна на .

1 случай. Если , то , и мы всё доказали, в качестве можно взять .

2 случай. Если , то , и мы всё доказали, в качестве можно взять .

3 случай. Если . Но тогда непременно , поскольку , но напомним, что у нас была взята из отрезка . По той же причине , так как , и вновь вспоминаем, что из отрезка .

Следовательно, для функции на отрезке выполнены все условия теоремы Больцано-Коши.

Но значит выполнено и её заключение. То есть найдётся такая , что , или, что то же самое, . Теорема доказана.

(Случай, когда разбирается аналогично.)