Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти главную часть вида при для
Сделаем замену . Тогда будем иметь
и для получившейся функции мы уже будем искать главную часть вида .
Следовательно, главный член указанного вида исходной функции будет
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти главную часть вида при для следующих функций:
a) ;
b) .
a) Раскладываем по Тейлору в нуле:
Следовательно, главный член указанного вида это .
b)
Следовательно, главный член указанного вида это .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти главные части вида для следующих последовательностей при :
a) ;
b) ;
c) ;
d)
Во всех пунктах задачи, чтобы обосновать проделанное вычисление, заменяем на , тогда
и и пользуемся дифференцируемостью там где нужно данных нам функций, раскладывая их по
Тейлору.
a)
Следовательно, наша последовательность на бесконечности имеет главный член , иными
словами, имеет второй порядок малости с коэффициентом .
b)
Следовательно, наша последовательность на бесконечности имеет главный член , иными
словами, имеет второй порядок малости с коэффициентом .
с)
Следовательно, наша последовательность на бесконечности имеет главный член , иными
словами, имеет второй порядок малости с коэффициентом .
d)
Следовательно, наша последовательность на бесконечности имеет главный член , иными
словами, имеет первый порядок малости с коэффициентом .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
1. Пусть при . Найти ;
2. Пусть при . Найти ;
3. Пусть при . Найти .
1. По формуле Тейлора для косинуса в нуле
Следовательно,
Следовательно, .
2. По формуле Тейлора для в нуле
Следовательно,
Следовательно, .
3. По формуле Тейлора для экспоненты в нуле
Следовательно,
Следовательно, .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить
Изначально наше выражение, у которого нужно посчитать предел, вообще не имеет вид , поэтому
нам самим нужно привести его к такому виду.
Итак, ясно, что
где
Далее, и удовлетворяют всем условиям правила Л’Опиталя, если рассматривать их как
функции определенные в проколотой окрестности точки , например на таком проколотом интервале
(интервале без точки), как .
Кроме того, исходный предел является неопределенностью вида
Отношение же их производных равно
и вновь в пределе является неопределенностью вида .
Применим правило Л’Опиталя ещё раз!
Отношение производной числителя к производной знаменателя у дроби
равно
и предел этого отношения при равен
(проверьте сами, что производная знаменателя дроби
то есть
не равно 0 в какой-то проколотой окрестности точки 1)
А, значит, по правилу Л’Опиталя, примененного к пределу , мы имеем, что
. Но тогда по правилу Л’Опиталя, примененного к пределу , мы
имеем, что
Таким образом, мы получили, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить
Функции , удовлетворяют всем условиям правила Л’Опиталя - они
дифференцируемы на некотором интервале , производная знаменателя
, где выбрана так, чтобы уравнение не
имело решений на .
Действительно, такое всегда можно выбрать в силу того, что уравнение
равносильно тому, что , поэтому нужно взять в качестве любую точку по модулю
меньше чем модуль первой точки пересечения прямой и графика .
Кроме того, предел изначально является неопределенностью вида .
Но тогда можно применить правило Л’Опиталя и, в силу того, что
А значит, только теперь, в силу правила Л’Опиталя, мы можем заключить, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Рассмотрим , . Тогда , в то время как
.
Вопрос. Почему же, вопреки, казалось бы, правилу Лопиталя, предел отношения производных не
равен пределу отношения самих функций?
Правило Л’Опиталя здесь неприменимо, и нельзя, пользуясь им, заключить, что предел отношения
исходных функций равен пределу отношения их производных. Ведь для того, чтобы это было верно,
кроме всего прочего, требуется, чтобы исходный предел был либо неопределенностью вида
, либо неопределенностью вида .
Однако ж для наших и неверно ни то, ни другое...
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Рассмотрим , Тогда, разумеется,
В то время как отношение производных не имеет предела при .
Вопрос. Почему же, вопреки, казалось бы, правилу Лопиталя, предел отношения производных не
равен пределу отношения самих функций?
Дело всё в том, что правило Лопиталя ничего не говорит про тот случай, когда у отношения производных предела нет. В таком случае предел отношения самих функций может быть равен чему угодно - про это правило Лопиталя вообще ничего не знает.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти главную часть вида для функции при .
Следовательно,
Следовательно, главной частью указанного вида является функция .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти главную часть вида для функции при .
Следовательно, главной частью указанного вида является функция .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти главную часть вида для функции при .
Поскольку нам нужно выделить главную часть вида , то это означает, что тейлоровское
разложение функции необходимо выполнять в точке 2.
Поскольку это не очень удобно, давайте лучше обозначим , и тогда наша функция запишется
в виде
Далее, при :
Тогда
Следовательно, делая обратную замену, получим, что
является главной частью указанного вида
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Разложить функцию до при .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти главную часть вида для функции при .
Поскольку нам нужно выделить главную часть вида , то это означает, что тейлоровское
разложение функции необходимо выполнять в точке 1.
Поскольку это не очень удобно, давайте лучше обозначим , и тогда наша функция запишется
в виде
И эту функцию будет раскладывать в точке :
Тогда
Таким образом, делая обратную замену, получаем, что функция
является главной частью исходной функции указанного вида.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти главную часть вида для функции при .
Ясно, что
Тогда
Следовательно искомая главная часть - это
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Разложить до члена с .
Поскольку
То, это можно представить как
Тогда
Далее, коль скоро
То получим при :
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Разложить до члена с .
В силу того, что
, и, далее в силу того, что
подставляя одно разложение в другое, получим, при :
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Обосновать все основные маклореновские разложения:
выведя их из общей формулы
1. Ясно, что функцию можно разложить по формуле Маклорена до любого члена, поскольку она
сколько угодно раз дифференцируема в нуле.
Общая формула многочлена Маклорена порядка выглядит так:
Таким образом, чтобы получить эту формулу для синуса в нуле, нужно понять, как устроены
производные синуса в нуле.
Итак, свободный член , далее
Отсюда мы видим закономерность, что производные четного порядка в нуле зануляются, а
производные нечетного порядка равны 1, если порядок этой производной даёт остаток 1 при делении на
4, и равны , если порядок этой производной даёт остаток 3 при делении на 4. Таким образом и
получается формула разложения синуса в нуле.
2. Ясно, что функцию можно разложить по формуле Маклорена до любого члена, поскольку она
сколько угодно раз дифференцируема в нуле.
Здесь всё аналогично с синусом, заметим, что свободный член , далее
Отсюда мы видим закономерность, что производные нечетного порядка в нуле зануляются, а
производные четного порядка равны 1, если порядок этой производной даёт остаток 0 при делении на 4,
и равны , если порядок этой производной даёт остаток 2 при делении на 4. Таким образом и
получается формула разложения косинуса в нуле.
3. Ясно, что функцию можно разложить по формуле Маклорена до любого члена, поскольку
она сколько угодно раз дифференцируема в нуле.
Давайте поймём закономерность производных в нуле: ,
В целом закономерность уже видна, можно легко понять, что
А потому, -ый коэффициент в формуле Маклорена будет
И мы доказали формулу для логарифма.
4. Ясно, что функцию можно разложить по формуле Маклорена до любого члена, поскольку она
сколько угодно раз дифференцируема в нуле.
Давайте поймём закономерность производных в нуле: ,
В целом закономерность тут очевидна - ведь все производные - это сама и есть, а поэтому они все в нуле равны единице. А потому, -ый коэффициент в формуле Маклорена будет
И мы доказали формулу для экспоненты.
5. Ясно, что функцию можно разложить по формуле Маклорена до любого члена, поскольку
она сколько угодно раз дифференцируема в нуле.
Давайте поймём закономерность производных в нуле: ,
Закономерность ясна,
А потому, -ый коэффициент в формуле Маклорена будет
И мы доказали формулу для степенной функции.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить
Поскольку при справедливы равенства
|
искомый предел равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить
Поскольку при справедливы равенства
|
искомый предел равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить
Сначала разложим по формуле Тейлора аргумент логарифма, а затем и сам логарифм:
Распишем оставшиеся слагаемые в числителе:
И теперь запишем числитель целиком:
Распишем слагаемые из знаменателя выражения:
А теперь запишем знаменатель целиком:
Следовательно, предел всего выражения равен