Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать оптическое свойство эллипса:
Луч света, выходящий из одного фокуса эллипса, после отражения от эллипса, попадает в другой его
фокус.
Лемма. Пусть дана некоторая прямая и две точки и , находящиеся по одну сторону от этой
прямой.
Пусть нужно найти такую точку на прямой , что сумма расстояний минимальна.
Утверждается, что такая точка обязательно существует и единственна и найти её можно следующим
образом - острые углы между и и между и совпадают.
(В оптике этот принцип называют принципом Ферма, или принципом угол падения равен углу
отражения, поскольку свет среди всех возможных траекторий выбирает ту траекторию,
которая минимизирует его время, а если среда однородна, то минимизация времени это то же
самое, что минимизация расстояния).
Доказательство леммы.
Построим точку симметричную относительно прямой . И давайте теперь будем искать такую
точку , что сумма расстояний от до и от до минимальна. То есть будем теперь
минимизировать величину
Но ясно, что если - это точка, обладающая указанным свойством, то есть такая точка, что острые углы между и и между и совпадают, то минимум величины
достигается именно при - это видно попросту из неравенства треугольника .
Но поскольку , то минимизация величины
равносильна минимизации величины
И мы только что доказали, что эта величина минимизируется только если совпадает
с той самой точкой , где угол падения равен углу отражения. Лемма доказана.
Доказательство оптического свойства эллипса.
Заметим вначале, что для любой точки вне эллипса сумма расстояний от до и от до
будет строго больше, чем .
Теперь проведем касательную к эллипсу в точке .
Поскольку сумма всегда равна , а для любой точки на касательной, находящейся
вне эллипса, как мы заметили, , то получается, что в точка минимизирует путь
от к через касательную. То есть в точке угол падения равен углу отражения.
Следовательно, свет пойдёт именно по этому пути.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!