1. (из геометрического в алгебраическое).

Пусть дано ГМТ на плоскости, удовлетворяющее определению гиперболы.

То есть множество точек, таких, что модуль разности расстояний от этих точек до двух фиксированных точек и постоянный и равен , где , - расстояние между и .

Введем прямоугольную систему координат так, чтобы точки и имели координаты , .

Тогда условие

можно расписать так. Пусть произвольная точка на гиперболе имеет координаты :

, ,

Возведем обе части в квадрат:

Еще раз возводим в квадрат:

Делим теперь всё на :

И теперь делим на :

Осталось лишь обозначить за величину , и мы получим нужно нам уравнение

2. (из геометрического в алгебраическое).

Пусть дано множество точек на плоскости, удовлетворяющих уравнению

То есть

Тогда давайте выберем две точки и . Тогда утверждается, что модуль разности расстояний от любой точки до и до равен .

Действительно, если обозначить за расстояние от до , то , если обозначить за расстояние от до , то .

Далее, вычислим :

Абсолютно аналогично можно показать, что .

Причем заметим, что если мы находится на правой ветви гиперболы, то , а и в таком случае , а если мы находимся на левой ветви гиперболы, то , и вновь получаем, что .