Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В тетраэдре скрещивающиеся рёбра попарно равны. Через середину отрезка , где - точка пересечения высот грани , провели прямую перпендикулярно плоскости . Аналогичным образом определили точки , и построили прямые соответственно для трёх других граней тетраэдра. Докажите, что прямые пересекаются в одной точке.
Проведём через пару скрещивающихся рёбер тетраэдра две параллельные плоскости. Так же поступим для двух других пар скрещивающихся рёбер и получим параллелепипед. Диагонали его граней равны между собой, поэтому все грани — прямоугольники, и параллелепипед прямоугольный. Пусть — его центр, являющийся также центром описанной сферы тетраэдра Пусть также — точки, симметричные соответственно относительно точки Докажем, что все построенные прямые проходят через точку
Пусть — центр масс треугольника . Тогда
То есть точка лежит на диагонали и делит её в отношении , считая от вершины Аналогично центр масс треугольника лежит на этой диагонали и делит её в отношении , считая от вершины Точка — середина отрезка поэтому
Рассмотрим проекцию на плоскость — проекция точки , — проекция центра Точка совпадает с центром описанной сферы тетраэдра поэтому — центр описанной окружности треугольника
Тогда прямая проецируется в прямую Эйлера треугольника Пусть Тогда ( делит отрезок в отношении , это отношение сохраняется при проецировании). Кроме того, лежат на одной прямой и (прямая Эйлера), отсюда Следовательно, , а прямая , перпендикулярная плоскости , делит отрезок пополам, а значит, совпадает с прямой . Итак, все построенные прямые проходят через точку .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Многогранник изображен в ортогональной проекции на плоскость
Докажите, что такой многогранник невозможен.
Источники:
Подсказка 1
У нас на картинке дополнительно нарисованы точки пересечения A₂, B₂, C₂ и D₂. Что их всех связывает?
Подсказка 2
Они получены как пересечение прямых из плоскости ABCD и прямых из плоскости A₁B₁C₁D₁. Тогда где должны лежать все эти точки?
Подсказка 3
На общей для этих плоскостей прямой! А теперь внимательно смотрим на рисунок)
Прямые и пересекаются в точке , лежащей в обеих плоскостях, и , то есть на их общей прямой. То же верно для точек получающихся как пересечения одноименных рёбер. Значит, все эти точки должны лежать на одной прямой, что не выполняется.
Если зафиксировать, например, точки , то можно построить изображение вершины (на рисунке это точка , которое не совпадает с изображением точки на проекции.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
B пространстве даны четыре попарно неравных и попарно параллельных отрезка Докажите, что точки пересечения продолжений боковых сторон шести трапеций лежат в одной плоскости.
Подсказка 1
В нашей задаче фигурирует точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции. Как мы знаем, эта точка является центром положительной гомотетии, переводящей одно основание трапеции в другое. Какую теорему хочется применить?
Подсказка 2
Конечно, теорему о трех колпаках! Обозначим за O₁₂ точку пересечения боковых сторон трапеции A₁B₁A₂B₂ (остальные точки аналогичным образом). Тогда O₁₂, O₂₃ и O₁₃ лежат на одной прямой (обозначим ее L₁₂₃, а другие аналогичным образом). А что будет, если рассмотреть точки O₁₂, O₂₄ и O₁₄?
Подсказка 3
Мы знаем, что они лежат на прямой L₁₂₄. При этом, на ней также есть точка O₁₂, поэтому прямые L₁₂₃ и L₁₂₄ лежат в одной плоскости П, т.е. точки O₁₂, O₂₃, O₁₃, O₁₄, O₂₄ лежат в П. Осталось лишь доказать, что точка O₃₄ лежит в этой плоскости...
Подсказка 4
Рассмотрите прямую L₁₃₄ и завершите доказательство!
Обозначим через точку пересечения боковых сторон трапеции Тогда точка является центром гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей отрезок в отрезок По теореме о трех центрах гомотетии (теорема о трёх колпаках) точки лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую через и докажем, что все такие прямые лежат в одной плоскости.
Для этого будем последовательно рисовать их. Сначала проведем прямые и они лежат в одной плоскости т.к. пересекаются в точке Прямая пересекает в точке а прямую — в точке поэтому она также лежит в плоскости Наконец, прямая пересекает прямую в точке а прямую — в точке так что и она лежит в плоскости
Итак, все четыре прямые лежат в одной плоскости, и в ней же лежат все шесть точек что и требовалось доказать.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В пространстве даны три отрезка и , не лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в одной точке . Обозначим через центр сферы, проходящей через точки и . Докажите, что прямые и пересекаются в одной точке.
Подсказка 1!
Если попробовать в голове представить такое пространственное сложное чудо, можно заметить, что Oijk образуют что-то очень похожее на параллелепипед. Попробуйте доказать, что они образуют параллелепипед (а его диагонали, как мы знаем, пересекаются в одной точке). Еще к такой мысли можно прийти так - вас просят в пространстве доказать, что какие-то прямые пересекутся в одной точке. Мы знаем что-то про пересечение в пространстве у не очень большого числа объектов пока)
Подсказка 2!
Итак, хотим доказать что это параллелепипед. Построим серединный перепендикуляр к отрезкам A1P, A2P. Тогда O1jk принадлежит этому перпендикуляру, так как A1 и P лежат на каждой сфере такой. И A2, P - так же. теперь попробуем заметить, что эти два серединных перепендикуляра (к A1P и A2P) будут параллельны. (почему?)
Подсказка 3!
Так-так -так, вот мы и нашли какие-то параллельные плоскости. Давайте теперь попробуем найти еще несколько пар параллельных плоскостей, и докажем, что вышел именно нужный нам параллелепипед :)
Будем называть ГМТ серединным перпендикуляром к отрезку . Пусть — серединный перпендикуляр к отрезку . Тогда (поскольку на каждой такой сфере лежат обе точки ). Легко видеть, что , поскольку обе перпендикулярны прямой . Аналогично определим плоскости для и для . Поскольку шесть выбранных плоскостей попарно параллельны, то они образуют параллелепипед, осталось заметить, что его вершинами будут точки . Действительно, каждая точка лежит в плоскостях (например), откуда и следует нужное. Учитывая, что диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, всё доказано.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что в любую треугольную пирамиду можно вписать единственную сферу.
Подсказка 1!
В стереометрии иногда полезно проводить аналогию с плоскостью, чтобы что-то придумать. Смотрите, у нас есть пирамида треугольная и вписанная сфера. Как аналогичное утверждение доказывается на плоскости? Да, что-то там про пересечение биссектрис...
Подсказка 2!
Рассмотрим биссекторы, содержащие ребра AB, BC, AC. Они пересекаются в одной точке, она равноудалена от сторон (проверьте!) Теперь осталось доказать, что второй такой точки еще не может быть!
Пусть эта пирамида . Биссекторы, содержащие рёбра , пересекаются в одной точке , которая находится на одинаковом расстоянии от всех четырёх граней, то есть является центром вписанной в пирамиду сферы. Если нашлась ещё одна сфера с центром , то она также обязана лежать в пересечении трёх биссекторов, но такая точка всего одна, поэтому сфера единственная.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В пирамиде все боковые рёбра равны. Точка — середина дуги описанной окружности треугольника точка — середина дуги описанной окружности треугольника и т. д., точка — середина дуги описанной окружности треугольника Докажите, что описанные окружности треугольников пересекаются в одной точке.
Заметим, что точки лежат и на сфере с центром в точке и в одной плоскости. Следовательно, они лежат на окружности являющейся пересечением сферы с плоскостью. Пусть — центр этой окружности. Тогда перпендикулярно плоскости основания и любая точка на прямой равноудалена от всех точек окружности Поэтому на найдётся и такая точка для которой Тогда на сфере с центром в точке и радиусом лежат все вершины пирамиды, а также все окружности
Следовательно, на этой сфере лежат все точки и Пусть — точка на сфере диаметрально противоположная точке Покажем, что описанные окружности треугольников проходят через точку Поскольку точки и лежат на сфере, достаточно проверить, что они лежат на сфере, достаточно в одной плоскости. Эта плоскость перпендикулярна прямой и проходит через точку В самом деле, поскольку они опирается на диаметр сферы и поскольку они опираются на диаметры и описанных окружностей треугольников и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В тетраэдре середины всех ребер лежат на одной сфере. Докажите, что его высоты пересекаются в одной точке.
Пусть дан тетраэдр а — середины ребер и соответственно. Тогда прямые и параллельны как средние линии треугольников и а прямые и параллельны как средние линии треугольников и Отсюда немедленно следует, что — параллелограмм. Но все его вершины лежат на сфере, поэтому он вписанный, т. е. — прямоугольник. В силу параллельности сторонам прямоугольника прямые и перпендикулярны. Аналогично и
Докажем, что перпендикулярность противоположных сторон тетраэдра является достаточным условием того, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Построим плоскость, проходящую через ребро перпендикулярно Высоты тетраэдра, опущенные из точек и лежат в этой плоскости, и значит, пересекаются. Обозначим точку их пересечения через Высоты из вершин и также должны пересекать высоты из вершин и но так как они не лежат в плоскости пересекать их они могут только в точке
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольной пирамиде ребро перпендикулярно плоскости . Последовательность точек строится следующим образом: точка — центр сферы, описанной около пирамиды , и для каждого натурального точка есть центр сферы, описанной около пирамиды . Какую длину должно иметь ребро , чтобы множество состояло ровно из двух различных точек?
Подсказка 1
Т.к. SA ⊥ (ABC), то угол ∠SAB=90⁰. По условию ∠SCB=90⁰. Это означает, что наши точки лежат на сфере, с диаметром SB. А на какой прямой лежат центры O₁, O₂, ...?
Подсказка 2
Правильно, на перпендикуляре к плоскости (ABC), проведенной в точке X- середине AB. Мы хотим, чтобы множество наших центров состояло всего из двух точек. Давайте тогда поймем, когда O₃ совпадает с кем-то из O₁, O₂.
Подсказка 3
Ясно, что с O₂ она совпадать не может. Т.к. O₁- середина SB, то и O₃- середина SB. Т.к. O₃ равноудалена от A, B, C и O₂, а O₂ равноудалена от A, B, C и O₁=O₃, то AO₃BO₂- ромб с углом 60°. Я думаю, что вы сможете закончить решение!
Применим теорему о трех перпендикулярах. В силу того, что и , получим, что проекция на плоскость перпендикулярна , то есть
Заметим, что середина гипотенузы - точка это центр описанной окружности прямоугольного треугольника . Аналогично середина гипотенузы - точка - центр описанной окружности прямоугольного треугольника . Тогда если провести перпендикуляр к плоскости в точке и перпендикуляр к плоскости в точке , то центр описанной окружности пирамиды - точка пересечения этих перпендикуляров. Но перпендикуляр к плоскости в точке совпадает с прямой . То есть точка и есть точка .
При этом на прямой (перпендикуляр к плоскости в точке ) будут лежать все в силу того, что - ГМТ точек равноудаленных от
То есть точка - центр треугольной пирамиды - опять-таки должна лежать на прямой
Хотелось бы добиться того, чтобы ( по очевидным причинам). Но тогда . То есть середина гипотенузы равноудалена от точек . Так же точка равноудалена от точек . Но тогда должен быть ромбом, при этом его диагональ должна быть равна стороне. Понятно, что тогда . Значит, что , то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все прямые в пространстве, проходящие через данную точку на данном расстоянии от данной прямой .
Источники:
Подсказка 1!
Давайте попробуем сначала разобраться с простым случаем, чтобы нам было понятнее, что происходит. Есть точка в пространстве. И прямая в пространстве. И если расстояние от самой точки до прямой уже d, то какой был бы ответ?
Подсказка 2!
Верно, это была бы плоскость через точку, параллельная АВ. Так, а если расстояние от точки до плоскости меньше d?
Подсказка 3!
Хорошо, с этим тоже разобрались. Такого гмт бы не существовало. Давайте теперь посмотрим на сложный случай. Чтобы расстояние было равно d, попробуем построить одну такую прямую. Возьмем вокруг AB "оболочку" ширины d. получится такой цилиндр радиуса d. И вам нужна прямая, которая будет проходить через точку m, а еще касаться такого цилиндра(осознайте, почему?). Осталось немного, разобраться, как построить такое гмт!
Если точка сама находится на расстоянии от , то подойдёт вся плоскость , (то есть любая прямая . Если расстояние , то таких прямых нет. Иначе это прямая, которая касается цилиндра с осью и проходит через . Чтобы задать такие прямые, построим касательную плоскость к цилиндру, которая содержит — в силу симметрии их будет две . В итоге нам подойдут все . Нетрудно видеть, что в случае равенства плоскости просто совпадают.
Если , то это все , где — касательные плоскости к цилиндру с осью и радиусом , при этом .