Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет рациональное решение . Здесь, - целая часть числа .
Источники:
Положим . Тогда уравнение принимает вид . Нужно найти все целочисленные значения , при которых существует рациональное решение .
При решений нет. Рассмотрим вначале случай , т.е. . Тогда поскольку при любом натуральном
то можем считать, что в представлении числа и натуральные. Значит, числа и имеют одни и те же простые делители.
Пусть - общий простой делитель этих чисел, тогда
где и - натуральные. Исключая из левых частей уравнений этой системы, получаем
Значит - натуральное, а -делитель 9 , т.е. . Поэтому
где и - натуральные и . Так как
a не делится на 3 , то и .
Для отрицательных решение проводится почти аналогично. Положим . Тогда исходное уравнение будет записываться в виде:
Случай очевиден, поскольку решение . Пусть . Аналогично предыдущему показывается, что в представлении числа и натуральные. Опять предположив, что - общий простой делитель этих чисел, получим
и также сделаем вывод, что . Поэтому
где и - натуральные и . Так как
а не делится на 3 , то и или , но последнее уравнение не имеет натуральных решений.
Поэтому все решения описываются уравнениями: и , решив которые приходим к ответу.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!