Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все целочисленные решения данного уравнения, если таковые существуют.
Через здесь обозначена целая часть числа
Источники:
Подсказка 1
Первое, что нужно понять - не стоит бояться задач, которые выглядят громоздко. Они милые внутри. К примеру, в этой задаче, можно взять разные d, разные x, и найти чему будет равна сумма слева, а потом доказать, что так будет всегда. Не могли же нам дать какой-то гроб, где и слева страшная бяка и справа логарифмы, которые вообще мало связаны с нашим «целым» миром.
Подсказка 2
Первое, что надо сделать, чтобы найти эту сумму, это сказать, что x = kd + m. Иначе, не понятно, как можно искать эти самые целые частные от деления на d. Теперь нам надо понять, с какого момента каждая скобка становится равна не k, а k + 1. И посмотреть по сколько у нас значений k и k + 1.
Подсказка 3
Верно, значений k у нас d - m штук, а значений k + 1 ровно m. Значит наша сумма - это k(d - m) + m(k + 1) = kd + m = x. Ого, а теперь задача не такая уж и страшная! Остается преобразовать левую часть по формуле разность логарифмов и получить уравнение вида log_2((2^x + 1)/6) = -x. А это уже крайне понятно решается(квадратно уравнение на 2^x).
Докажем, что если целое, натуральное, то
Представим в виде где (неполное частное), (остаток). Тогда величины
будут равны Их количество равно
Величины
будут равны Их количество равно
Итого получаем
Преобразуем правую часть уравнения
Таким образом, приходим к уравнению
Обозначая и решая полученное квадратное уравнение, находим, что (другой корень не подходит по знаку).
Следовательно, единственное решение
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!