Посчитаем производную по определению:

Так как во втором слагаемом мы имеем предел произведения бесконечно малой функции на ограниченную, который равен .

Однако, при этом функция не возрастает ни в какой окрестности точки 0, ведь

И существуют две последовательности вида , . Эти последовательности стремятся к , причём и :

Следовательно, вблизи окрестности существует бесконечно много как промежутков возрастания, так и промежутков убывания, поэтому функция не монотонна ни в какой окрестности .