Задача №55557: Производные функции в точке — Каталог задач по Высшей математике — Школково

Тема . Математический анализ

.23 Производные функции в точке

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#55557

Найти логарифмическую производную от функции $y$ , если:

а): $∘ ------ 1− x y = x 1+-x-$
б): $∘ -------- -x3--3 -3-−-x-- y = 1− x (3+ x )3$
в): $y = (x − a1)α1(x − a2)α2 ...(x − an)αn$

Показать ответ и решение

а)

∘ ------ (ln y)′ = (ln(x 1−-x-))′ = (ln (x⋅(1 − x)1∕2 ⋅(1+ x)−1∕2))′ = 1+ x = (ln x)′ + 1-(ln(1 − x))′ − 1(ln(1+ x))′ = 1(2-−--1-- − --1--) = 2 2 2 x 1 − x 1 + x 2(1− x )(1 + x)− x (1 + x)− x(1− x) 2 − 2x2 − 2x x2 + x − 1 = -----------------------------------= ----------------= ---2------. 2x(1− x)(1+ x) 2x (1 − x)(1+ x ) x(x − 1)

б)

3 ∘ -------- (ln y)′ = (ln(-x-- 3 -3−-x--))′ = (ln(x3 ⋅(1− x)−1 ⋅(3− x)1∕3 ⋅(3 + x)−1))′ = 1 − x (3 + x)3 1 3 1 1 1 = (3 ln x − ln(1 − x)+ -ln(3− x) − ln (3 + x))′ =--+ -----− --------− -----= 3 x 1− x 3(3 − x) 3+ x 9(1−-x)(9-−-x2)+-3x(9-−-x2)−-(3-+-x)(x-−-x2)-−-3(3-−-x)(x-−-x2) = 3x(1 − x)(9− x2) = (81− 81x − 9x2 + 9x3)+ (27x − 3x3)− (3x − 2x2 − x3)− (9x − 12x2 + 3x3 ) = -----------------------------------------2----------------------------= 3x(1− x)(9 − x ) 81−-66x-+-5x2-+-4x3- = 3x (1− x)(9− x2) .

в)

(ln y)′ = ln((x− a1)α1(x − a2)α2 ...(x− an)αn)′ = ′ = (α1ln(x − a1)+ α2 ln(x − a2)+ ...+ αn ln(x− an )) = ∑n ∏ αk (x − aj) = --α1--+ -α2---+ ...+ --αn-- = k=1-n--j⁄=k--------- x − a1 x− a2 x − an ∏ (x − ak) k=1

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse