Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существует ли многочлен третьей степени такой, что все его корни положительны, а все корни его производной отрицательны, при условии, что и у многочлена, и у производной, есть хотя бы один единственный корень?
Источники:
Подсказка 1
Давайте попробуем придумать пример! Если получится - предъявим, а если не получится - постараемся доказать, что такого многочлена не существует. Какой многочлен сразу приходит в голову, когда говорим, что он 3 степени?
Подсказка 2
Конечно, многочлен x³! Но у него единственный корень = 0, как бы его поправить, чтобы корень был положительным?
Подсказка 3
Можем просто вычесть константу! Положительный корень есть, осталось сделать так, чтобы корни производной были отрицательными. Константа не влияет на производную, тогда если наш многочлен имеет вид (x + a)³ + c, то его производная равна 3(х + а)². Нужно выбрать такое а, чтобы корень получился отрицательный, и потом проверить, что положительные корни функции никуда не пропали (а если пропали, то что надо сделать, чтобы они вновь стали положительными, при этом не поменяв производную?)
Подсказка 4
Так как свободный член не влияет на производную, то мы можем просто его уменьшить, чтобы при отрицательных х функция принимала только отрицательные значения ⇒ корни будут при положительных х (и возможно в 0, но от него точно так же можно избавиться)
У многочлена 
единственный корень 
, а корень его производной 
Замечание. Как придумать пример? Рассмотрим 
— самый простой многочлен третьей степени. Чтобы у него был положительный
корень, отнимем положительную константу, возьмем 
. Сейчас производная равна 
и ее корень 
. Если же рассмотрим
функцию, например, 
, получим корень производной, равный 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
