Тригонометрические уравнения —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 6. Решение уравнений

6.07 Тригонометрические уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2756

Решите уравнение $cosx= −1.$

В ответе укажите сумму наименьших трех положительных корней уравнения, деленную на $π.$

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно серии корней

x= − π+ 2πn, n ∈ ℤ

Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство

−π + 2πn > 0 ⇔ n > 1 2

Значит, первые три положительных корня получаются при $n= 1; 2; 3$ и это $x = π; 3π; 5π.$

Следовательно, их сумма, деленная на $π,$ равна

(π+ 3π+ 5π):π = 9π :π = 9

Ответ: 9

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2233

Решите уравнение $√2 sinx = -2 .$

В ответе укажите деленный на $π$ наименьший положительный корень, принадлежащий первой четверти.

Показать ответ и решение

Решениями уравнения являются две серии:

x1 = π-+ 2πk, x2 = 3π+ 2πk, k ∈ ℤ 4 4

$PIC$

Видим, что в первой четверти лежит только серия

x1 = π-+2πk 4

Найдем наименьший положительный корень, решив неравенство

π 1 4-+2πk > 0 ⇔ k > − 8

Тогда наименьшее целое $k = 0,$ при этом получаем корень $π x = 4.$

Следовательно, в ответ запишем число

π- 1 4 :π = 4 = 0,25

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2229

Решите уравнение $1 cosx= 2.$

В ответе укажите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней.

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно двум сериям корней

π π x1 = 3 + 2πn, x2 = −3-+ 2πm, n,m ∈ℤ

Найдем положительные корни уравнения, решив неравенства

π-+2πn > 0 ⇔ n> − 1 3 6 − π-+ 2πm > 0 ⇔ m > 1 3 6

Наименьшее подходящее целое $n$ — это $n= 0,$ при нем получается $x= π-. 3$

Наименьшее подходящее целое $m$ — это $m = 1,$ при нем получается $5π x= 3 .$

При этом имеем $π-< 5π. 3 3$

Аналогично найдем наибольший отрицательный корень, он получается из второй серии корней при $m = 0 :$ $x = − π. 3$

Тогда сумма наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней равна

π π − 3 + 3-= 0

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2228

Решите уравнение $sinα = 1.$

В ответе укажите наименьший положительный корень уравнения, деленный на $π.$

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно серии корней

π α = 2-+2πn, n ∈ℤ

Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство:

π-+2πn > 0 ⇔ n> − 1 2 4

Наименьшее подходящее целое $n$ — это $n= 0,$ при нем получается $α= π. 2$

Следовательно, в ответ пойдет

π 1 2-:π = 2 = 0,5

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2227

Решите уравнение $siny = 0.$ В ответе укажите целый корень уравнения.

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно серии корней

y = πn, n∈ ℤ

Заметим, что единственный целый корень из этой серии получается при $n = 0$ и это $y = 0.$ Все остальные корни будут вида «целое число умножить на $π$ », что является иррациональным числом.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#75171

В этом году Гринч осмелился украсть не Рождество, а корни уравнения

( ) π(x+-9)- √- tg 3 = 3

Найдите наибольший отрицательный корень этого уравнения.

Показать ответ и решение

π(x+-9)- π- 3 = 3 + πn,n ∈ ℤ

π (x + 9) = π + 3πn

x + 9 = 1 + 3n

x = − 8+ 3n

Нам нужен наибольший отрицательный корень. Выпишем условие отрицательности корня:

− 8+ 3n < 0

2 n < 23

При $n = 2$ получаем наибольший отрицательный корень:

x = − 8 + 3⋅2 = − 2

Ответ: -2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#18121

Найдите корни уравнения $sin πx-=− 0,5. 3$

В ответ запишите наименьший положительный корень.

Показать ответ и решение

πx ( πx) sin---= −0,5 ⇔ sin −--- = 0,5 ⇔ 3 3

⌊ − πx= π-+2πk, k ∈ ℤ [x = −0,5− 6k, k ∈ ℤ |⌈ 3πx 65π ⇔ − 3-= -6 +2πn, n∈ ℤ x = −2,5− 6n, n ∈ℤ

Наименьший положительный корень в первой серии равен $x = 5,5$ при $k = −1.$

Наименьший положительный корень во второй серии равен $x =3,5$ при $n = −1.$

Выбираем $x= 3,5.$

Ответ: 3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#18120

Найдите корни уравнения $tg πx-= 1. 5$

В ответе напишите наибольший отрицательный корень.

Показать ответ и решение

πx tg 5-= 1 πx π -5 = 4+ πk, k ∈ℤ x= 1,25+ 5k, k ∈ ℤ

Таким образом, наибольший отрицательный корень получим при $k = −1 :$

x= 1,25− 5= −3,75

Ответ: -3,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#16701

Найдите наименьший положительный корень уравнения $π(x−-3) √3- sin 12 = − 2 .$

Показать ответ и решение

$pict$

Легко проверить, что при $k = 0$ достигается наименьший положительный корень $x= 19.$

Ответ: 19

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#16700

Найдите наименьший корень уравнения $2π √2- cos x = 2 .$

Показать ответ и решение

$pict$

Наименьший корень достигается при наибольшем $k,$ для которого знаменатель все еще отрицателен. Это $k = 0$ и $x = −8.$

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#16699

Найдите наименьший положительный корень уравнения $-1- cos(4πx)= √2-.$

Показать ответ и решение

$pict$

Легко проверить, что при $k = 0$ достигается наименьший положительный корень $x = 116.$

Ответ: 0,0625

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#16698

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $(π(x+-4)) √3- sin 3 = 2 .$

Показать ответ и решение

$pict$

Легко проверить, что при $k = 0$ достигается наибольший отрицательный корень $x = −2.$

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#16697

Найдите наименьший положительный корень уравнения $πx- sin 3 =0,5.$

Показать ответ и решение

$pict$

Легко проверить, что при $k = 0$ достигается наименьший положительный корень $x =0,5.$

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#11710

Решите уравнение

- π (2x + 7) √3 sin----6--- = − -2-

В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

Показать ответ и решение

По определению синуса на тригонометрической окружности имеем две серии решений:

$pict$

Значение каждого из корней увеличивается при увеличении $k.$ При $k = 0$ получаем корни $− 4,5$ и $− 5,5,$ при больших $k$ оба корня уже будут положительны. Значит, наибольший отрицательный корень равен $− 4,5.$

Ответ: -4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#11027

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $π(x−-6) √- ctg 12 = − 3.$

Показать ответ и решение

$pict$

Значение корня увеличивается при увеличении $k.$ При $k = −1$ получаем корень $− 8,$ при больших $k$ корень уже будет положителен. Значит, наибольший отрицательный корень равен $− 8.$

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#11026

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

πx- -1- ctg 3 = − √3-

Показать ответ и решение

$pict$

Значение корня увеличивается при увеличении $k.$ При $k = 0$ получаем корень $− 1,$ при больших $k$ корень уже будет положителен. Значит, наибольший отрицательный корень равен $− 1.$

Ответ:

$− 1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#11023

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $( π(x− 1)) √- tg ---6---- = 3.$

Показать ответ и решение

$pict$

Значение каждого из корней увеличивается при увеличении $k.$ При $k = − 1$ получаем корни $− 9$ и $− 3,$ при больших $k$ оба корня уже будут положительны. Значит, наибольший отрицательный корень равен $− 3.$

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#11020

Найдите наибольший корень уравнения $π- ctgx = 0.$

Показать ответ и решение

$pict$

Наибольший корень достигается при наименьшем $k,$ для которого знаменатель все еще положителен. Это $k = 0$ и $x = 2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#11016

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

πx- tg 4 = − 1

Показать ответ и решение

$pict$

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#11015

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $π(x−-7) 1 cos 3 = 2 .$

Показать ответ и решение

$pict$

Значение корня увеличивается при увеличении $k.$ При $k = − 2$ получаем корень $− 4,$ при больших $k$ корень уже будет положителен. Значит, наибольший отрицательный корень равен $− 4.$

Ответ: -4

Предыдущий раздел

Следующий раздел