Грамматические основы 

Союзы 

Придаточные части выделены разными цветами

Фредерик не задумывался о том(,) любит ли он Лили (,) но (3) если бы она не приставала к нему с тем (,) чтобы он лечился от заикания (,) то мужчина бы, наверное, просил руки этой девушки. 

В предложении 5 грамматических основ: «Фредерик не задумывался»; «любит он»; «она не приставала»; «он лечился»; «мужчина бы просил руки».

Запятые в цифрах 1 и 2 выделяют придаточную часть с «ЛИ»: не задумывался о том (о чём именно?), любит ли он Лили.

Запятая в цифре 3 (на стыке союзов «НО», «ЕСЛИ БЫ») не ставится,  так как дальше нет свободного предложения (без союза), куда можно было бы перенести союз «НО» (+ стоит указательное слово «ТО»; невозможно представить такое предложение: «но то мужчина бы, наверное, просил руки этой девушки», зато можно представить предложение «но если бы она не приставала к нему с тем»).

Запятая в цифре 2 также разделяет две грамматические основы («любит он»; «она не приставала»).

Запятые в цифрах 4 и 5 выделяют придаточную часть с «ЧТОБЫ»: с тем (с чем именно?), чтобы он лечился от заикания.

Запятая в цифре 5 также разделяет две грамматические основы («он лечился»; «мужчина бы просил руки»).