Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть - любое вещественное число. Пусть
- непрерывна поточечно на замкнутом луче , и существует конечный предел
Доказать, что тогда - равномерно непрерывна на .
Пусть дано произвольное . Поскольку мы знаем, что
это означает, что обязательно найдется такое , что при всех таких, что будет выполнено
А, значит, при всех обязательно
С другой стороны, поскольку - поточечно непрерывна на , то она, конечно, будет поточечно непрерывна и на отрезке . Но тогда, по теореме Гейне-Кантора, будет равномерно непрерывна на отрезке . Таким образом, существует такая, что при всех обязательно выполнено, что
И мы уже почти готовы заключить, что - равномерно непрерывна на . Действительно, мы утверждаем, что теперь для этого произвольного мы сможем найти такую , что при всех обязательно будет выполнено, что
Пусть . Покажем, что она подойдёт.
Итак, если оба попали в , то какое бы между ними ни было расстояние, мы
уже заведомо знаем, что . Если же оба попали в , то,
поскольку , а при из-за равномерной непрерывности на уже
автоматически получится, что , то с этим случаем тоже все в порядке.
Но что же делать, если один из исков попал в , а другой попал в ? Но, поскольку мы
сейчас рассматриваем только иксы, расстояние между которыми меньше , а уж заведомо
меньше 1 (она не превосходит по построению), то в таком случае не может быть такого,
что один из иксов лежит в интервале , а другой лежит в интервале .
То есть, один из иксов обязательно лежит в пересечении .
Но тогда второй либо лежит в и тогда все хорошо, то есть ,
потому что они оба лежат тогда в отрезке , а там равномерно непрерывна.
Либо второй лежит в луче , но тогда они оба лежат в этом луче и тогда тоже все
хорошо и
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!