Задача №70589: Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва. — Каталог задач по Высшей математике — Школково

Тема . Математический анализ

.19 Пределы функций. Непрерывность. Точки разрыва.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математический анализ

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70589

Найти предел

√ ----- πx lim (4x − x + 8)tg(2 ) x→1

Показать ответ и решение

Сделаем удобную замену $x − 1 = y$ , тогда $y → 0$ , а $x = y + 1$ . Теперь, с учётом непрерывности экспоненты:

√ --- π π y+1 √--- lim (4x − √x-+-8)tg(πx2-) = elxim→1tg(πx2 )ln(4x− x+8 ) = elyim→0tg(2+2y)ln(4 − y+9) x→1

Исследуем предел

π π ∘ ----- lim tg(--+ --y)ln (4y+1 − y + 9) y→0 2 2

отдельно.

π- π- y+1 ∘ ----- π- y+1 ∘ ----- lyim→0 tg( 2 + 2y)ln(4 − y + 9) = lyim→0 − ctg( 2y)ln(4 − y + 9)

Далее, при $y → 0$ :

∘ ------ 4y+1 − ∘y-+-9 = 4⋅4y − 3 1 + y-= 4(1+ ln4y + ¯o(y))− 3(1 + y--+ ¯o(y )) = 1+ (4 ln 4− 1)y + ¯o(y) 9 18 6

Таким образом,

ln (4y+1− ∘y--+-9) = ln(1+ (4 ln 4− 1)y+ ¯o(y )) = (4ln4− 1)y+ ¯o(y)+¯o((4ln4− 1-)y+ ¯o(y)) = (4 ln 4− 1)y+¯o(y) 6 6 6 6

Далее,

----- 1 1 lim tg(π-+ πy) ln(4y+1 − ∘ y + 9) = lim (4ln4-−-6)y +-o¯(y)-= lim (4ln4-−-6)y-+-¯o(y)= y→0 2 2 y→0 − tg(π2y) y→0 − π2 y + ¯o(y)

(4 ln 4− 1)+ ¯o(1) 2 1 = lim -----π--6--------= − -(4ln4 − -) y→0 − 2 + ¯o(1) π 6

Следовательно,

lim tg(π2+π2y)ln(4y+1−√y+9) 2 1 ey→0 = e−π(4ln 4− 6)

Ответ:

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse