Аня постоянно НЕДОСЫПАЛА, поэтому под её глазами всегда были заметны синяки. — глагол; пишется слитно, так как без НЕ не употребляется 

Вопрос, НЕ ЗАДАННЫЙ Николаем, повис в воздухе и поставил окружающих в тупик. — причастие; с НЕ пишется раздельно, поскольку есть зависимое слово – «Николаем»

НЕ ПОДУМАВ и секунды, я написал ответ и сдал тетрадь: настроение не располагало к умственному труду. — деепричастие; пишется с НЕ раздельно (за исключением случаев, когда без НЕ слово не употребляется)

Пока НЕ ВРЕМЯ открывать свой салон красоты: придётся ещё немного поработать в офисе, чтобы накопить денег. — предикатив (слово со значением состояния); с НЕ пишется раздельно, запомнить

Начальнику НЕ С КЕМ было посоветоваться по такому серьёзному вопросу. — местоимение; пишется в 3 слова, так как есть предлог («С»)