a) Биекция задаётся линейной функцией ;

b) При помощи биекции из пункта a) отобразим наш интервал в интервал . Далее, интервал на всю прямую можно биективно отобразить при помощи отображения . Таким образом, получаем композицию биективных отображений:

Эта композиция будет осуществлять биекцию между интервалом и ;

c) Давайте занумеруем все рациональные числа интервала : . Теперь, чтобы построить биекцию , давайте сделаем так:

то есть мы первое рациональное число из интервала отправляем в ноль отрезка, второе рациональное число из интервала отправляем в единицу отрезка, а дальше рациональные числа из интервала отправляем в рациональные числа отрезка со сдвигом на два номера.

Иррациональные же числа в интервале переводим в себя же в отерзке, то есть если , то .

Таким образом, получаем взаимно-однозначное отображение из в .