a) Давайте сделаем такую биекцию из в : отправим отрицательные числа из в нечётные числа в , а неотрицательные числа из в чётные числа в . То есть устроена так:

Ясно, что - это функция, поскольку каждое целое число отображается только в одно натуральное. Ясно, что это инъекция, потому что разные целые числа отображаются в разные натуральные. Ясно, что это сюръекция, поскольку при помощи мы можем попасть в любое натуральное число. Следовательно, - биекция, а, значит, - счётно.

b) Давайте сделаем такую биекцию из

Ясно, что - это функция, поскольку каждый полный квадрат отображается только в одно натуральное число. Ясно, что это инъекция, потому что разные полные квадраты отображаются в разные натуральные числа. Ясно, что это сюръекция, поскольку при помощи мы можем попасть в любое натуральное число. Следовательно, - биекция, а, значит, - счётно.

c) Расположим все положительные рациональные числа в такую бесконечную таблицу

Она устроена по следующему принципу - в -ой строчке записаны все рациональные числа со знаменателями .

Далее, чтобы показать, что это множество счётно, достаточно устроить биекцию . А такая биекция - это по сути однозначное сопоставление каждой положительной дроби какого-то натурального числа. Сделаем такое сопоставление, идя по диагоналям нашей таблицы, то есть идя по следующей схеме:

Таким образом, первое число будет 1, второе число будет 2, третье число будет , четвёртое число будет , пятое число будет , и так далее...

Ясно, что двигаясь вот по такой схеме, мы обойдём всю таблицу из наших положительных дробей, а, значит, каждая дробь получит свой уникальный номер - такое правило и задаст нам биекцию .

Значит, множество всех положительных дробей - счётно.