Ошибка.
Попробуйте повторить позже
a) Показать, что любые два интервала на прямой равномощны.
Т.е.
b) Показать, что отрезок ровномощен интервалу
a) Функция, устанавливающая биекцию между интервалами и задаётся формулой
Поскольку эта функция представляет собой линейную функцию вида
то она, очевидно, и инъективна (иначе бы какие-то две точки прямой склеились бы в
одну), и сюръективна, поскольку в противном случае мы бы на выходе получили не всю прямую. В
том числе, она инъективна и сюръективна на указанных множествах. Следовательно, - биекция.
b) Выберем для начала все рациональные точки на отрезке То есть, пусть - множество
всех рациональных чисел на занумерованных произвольным образом, но с условием, что
(их можно занумеровать, так как а, следовательно, и - cчётно).
Далее, пусть - произвольная нумерация рациональных чисел на интервале
Тогда биекцию построим вот так: и далее для любого
рационального числа пускай при
То есть мы просто взяли и перегнали рациональные концы отрезка в какие-то две
произвольные рациональные точки а между оставшимися рациональными числами
отрезка и интервала устроили биекцию (оба множества счётные, поэтому такая биекция существует).
При этом и при этом пусть То есть, на иррациональных точках наша
тождественна - она оставляет их на месте. Таким образом, мы построили биекцию между и
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!