Коль скоро - бесконечно, а - конечно то и - бесконечно (иначе, в противном случае, мы бы получили, что - конечно, как объединение двух конечных множеств ).

Итак, мы с вами поняли, что - бесконечно. Тогда оно как минимум счётно. Занумеруем его элементы - и если всех натуральных чисел нам не хватит для нумерации элементов нестрашно - продолжим нумеровать дальше индексами следующего кардинала за (то есть пойдем дальше натуральных чисел, но только не думайте, что мы имеем в виду - что индексы наши будут больше самого большого натурального числа. Нет, мы просто берем следующее, большее по мощности чем индексное множество).

Отлично, но теперь нам легко устроить биекцию. Итак, пусть в у нас лежало элементов, то есть Тогда, очевидно, представляется в виде, как мы уже сказали, , то есть

Осталось только задать
Итак, пусть устроена вот как:

То есть мы просто сдвинули все наши элементы на позиций, как в парадоксе Гильбертова отеля, когда учёных приехало в бесконечный отель, который был полностью заполнен гостями. Очевидно, что наша является биекцией, поскольку все элементы достижимы из каких-то элементов (а именно, элемент с номером (или ординалом, если их более чем счётно) приходит из элемента ). Элементы же приходят из первых иксов
То, что - инъекция видно по построению. Разные элементы множества переходят в разные элементы множества Значит, мы всё доказали.