Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На одной из двух скрещивающихся прямых взяли различные точки 
и 
, на другой — различные точки 
и 
. Верно ли, что
прямые 
и 
— секрещивающиеся прямые?
Да. Прямые 
и 
не лежат в одной плоскости, следовательно, четыре точки 
не лежат в одной плоскости. Тогда
любая пара прямых, составленная из этих точек, является парой скрещивающихся прямых.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки 
, 
, 
и 
не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые 
и 
скрещиваются.
Рассмотрим плоскость 
. прямая 
пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на прямой 
. Следовательно, по признаку
прямые 
и 
скрещиваются.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что если 
и 
скрещивающиеся прямые, то 
и 
также скрещивающиеся прямые.
Допустим противное, т.е. 
и 
не скрещиваются. Из этого сразу следует, что все четыре точки 
лежат в одной плоскости, что противоречит условию «
и 
скрещивающиеся прямые». Значит, 
и 
скрещивающиеся.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через вершину 
ромба 
проведена прямая 
, параллельная диагонали 
, а через вершину 
— прямая
, не лежащая в плоскости ромба. Докажите, что: а) прямые 
и 
пересекаются; б) 
и 
— скрещивающиеся
прямые.
Обозначим плоскость ромба через 
.
а) Прямая 
параллельна 
и проходит через 
, следовательно, 
. 
пересекается с 
,
, следовательно, 
пересекается с 
.
б) Допустим, что 
и 
не скрещиваются. Тогда они однозначно задают некоторую плоскость 
.
Точка 
лежит в 
, при этом точка 
и прямая 
однозначно задают некоторую плоскость, и эта
плоскость является плоскотью ромба (как мы знаем из пункта а). Тогда плоскость ромба и плоскость
совпадают, однако это противоречит условию, что 
не лежит в плоскости ромба. Значит, 
и 
скрещиваются.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая 
пересекает прямую 
и не пересекает прямую 
, параллельную прямой 
Докажите, что 
и 
—
скрещивающиеся прямые.
Допустим противное, т.е. что 
и 
не скрещивающиеся, тогда они лежат в одной плоскости. При этом по условию 
и 
не пересекаются, следовательно, 
. Получили 
, что противоречит условию, что 
пересекает 
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через точку 
, не лежащую на прямой 
, проведены две прямые, не имеющие общих точек с прямой 
Докажите,
что по крайней мере одна из этих прямых и прямая 
являются скрещивающимися прямыми.
Обозначим через 
и 
прямые, проходящие через точку 
. Допустим противное, т.е. ни 
, ни 
не скрещиваются
с 
. Это значит, что 
и 
лежат в некоторой плоскости 
, а 
и 
в некоторой плоскости 
. Очевидно, что
и 
, а также 
и 
. При этом мы знаем, что прямая 
и точка 
, не лежащая на этой
прямой, однозначно задают плоскость, следовательно 
. Получили, что все три прямые лежат в одной плоскости.
Прямые 
и 
не могут обе быть параллельны 
, значит, хотя бы одна из них имеет с 
точку пересечения, что
противоречит условию.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Верно ли, что если две (три) точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в плоскости? А две точки окружности и ее центр? Ответы аргументируйте.
-
Если две точки окружности лежат в плоскости, несложно построить контрпример. Возьмем произвольную окружность
в плоскости
. Построим произвольную прямую 
в плоскости 
, которая пересекает окружность 
в двух точках 
и 
. Тогда очевидно,
что существует плоскость 
, не совпадающая с 
и содержащая прямую 
. Несложно видеть, что две точки окружности 
лежат
в 
, при этом окружность не лежит в 
. 
- Три точки окружности лежат в плоскости. Окружность по определению является плоской фигурой, а три точки, не лежащие на одной прямой (а никакие три различные точки окружности действительно не лежат на одной прямой), единственным образом задают плоскость, значит, вся окружность лежит в этой плоскости.
- Две точки на окружности могут оказаться диаметрально противоположными. Тогда они лежат с центром на одной прямой и существует бесконечное число плоскостей, проходящих через эти три точки. Значит, нельзя гарантировать, что окружность будет лежать в плоскости.
