Системы неравенств —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 15. Решение неравенств

15.11 Системы неравенств

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2316

Решите систему неравенств

{ log4−x(x + 4) ⋅ logx+5(6 − x) ≤ 0 x2−2x+10 2x2− 4x− 80 25 − 0,2 ≤ 0

Источник: ЕГЭ 2014, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ:

( 4 − x > 0 |||| ||| 4 − x ⁄= 1 |{ x + 4 > 0 ⇔ x ∈ (− 4;3) ∪ (3;4). ||| x + 5 > 0 ||| x + 5 ⁄= 1 ||( 6 − x > 0

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно

(4 − x − 1)(x + 4 − 1)(x + 5 − 1)(6 − x − 1) ≤ 0 ⇔ (x − 3)(x + 3)(x + 4)(x − 5 ) ≤ 0

Решая данное неравенство методом интервалов, получим $x ∈ [− 4;− 3] ∪ [3; 5].$

Пересечем с ОДЗ и получим $x ∈ (− 4;− 3 ] ∪ (3;4)$ .

2) Второе неравенство. Заметим, что $0, 2 = 1 = 5−1 5$ . Тогда неравенство можно переписать как

52x2−4x+20 − (5 −1)2x2− 4x− 80 ≤ 0 ⇔ 52x2−4x+20 ≤ 5−2x2+4x+80

Так как основание степени больше единицы, то данное неравенство равносильно

2x2 − 4x + 20 ≤ − 2x2 + 4x + 80 ⇔ x2 − 2x − 15 ≤ 0 ⇔ (x + 3)(x− 5) ≤ 0 ⇔ x ∈ [− 3;5 ]

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим: $x ∈ {− 3} ∪ (3; 4).$

Ответ:

${− 3} ∪ (3;4)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2223

Решите систему

{ log11−x(x + 7) ⋅ logx+5 (9 − x) ≤ 0 x2− 3x+20 2x2−6x−200 64 − 0,125 ≤ 0

Источник: ЕГЭ 2014, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ:

( 11 − x > 0 |||| ||| 11 − x ⁄= 1 |{ x + 7 > 0 ⇔ x ∈ (− 5;− 4) ∪ (− 4;9). ||| x + 5 > 0 ||| x + 5 ⁄= 1 ||( 9 − x > 0

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно

(11 − x − 1)(x + 7 − 1)(x + 5 − 1)(9 − x − 1) ≤ 0 ⇔ (x − 10)(x + 6)(x + 4)(x − 8) ≤ 0

Решая данное неравенство методом интервалов, получим $x ∈ [− 6;− 4] ∪ [8; 10].$

Пересечем с ОДЗ и получим $x ∈ (− 5;− 4 ) ∪ [8;9)$ .

2) Второе неравенство. Заметим, что $0,125 = 1 = 8− 1 8$ . Тогда неравенство можно переписать как

82x2−6x+40 − (8−1)2x2−6x− 200 ≤ 0 ⇔ 82x2−6x+40 ≤ 8−2x2+6x+200

Так как основание степени больше единицы, то данное неравенство равносильно

2x2 − 6x + 40 ≤ − 2x2 + 6x+ 200 ⇔ x2 − 3x − 40 ≤ 0 ⇔ (x + 5)(x− 8) ≤ 0 ⇔ x ∈ [− 5;8 ]

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим: $x ∈ (− 5;− 4 ) ∪ {8}.$

Ответ:

$(− 5;− 4) ∪ {8}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#928

Решите систему

{ 1 36x−2 − 7 ⋅ 6x−1 + 1 ≥ 0 2 x ⋅ log4(5 − 3x − x ) ≥ 0

Источник: ЕГЭ 2014, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство можно переписать в виде

2x− 1 x−1 6 − 7 ⋅ 6 + 1 ≥ 0

Сделаем замену $6x = t > 0$ , тогда неравенство примет вид:

2 t- − 7t + 1 ≥ 0 ⇔ t2 − 7t + 6 ≥ 0 6 6

Решим уравнение $2 t − 7t + 6 = 0$ . Его корнями будут $t1 = 1$ и $t2 = 6$ . Следовательно, $2 t − 7t + 6 = (t − 1)(t − 6)$ . Значит, неравенство примет вид

(t − 1)(t − 6 ) ≥ 0

Решив его методом интервалов, получим $t ∈ (− ∞; 1] ∪ [6;+ ∞ ).$ Теперь сделаем обратную замену:

[ x [ 6 ≤ 1 x ≤ 0 6x ≥ 6 ⇔ x ≥ 1 ⇔ x ∈ (− ∞; 0] ∪ [1;+ ∞ ).

2) Второе неравенство. Выпишем его ОДЗ:

( √ --- √ ---) 2 2 −-3-−---29 − 3-+--29- 5 − 3x − x > 0 ⇔ x + 3x − 5 < 0 ⇔ x ∈ 2 ; 2 .

Тогда на ОДЗ по методу рационализации данное неравенство равносильно

x(4 − 1)(5 − 3x − x2 − 1) ≥ 0 ⇔ x(x2 + 3x − 4) ≤ 0 ⇔ x(x − 1 )(x + 4) ≤ 0

Решая данное неравенство методом интервалов, получим $x ∈ (− ∞; − 4] ∪ [0;1]$ .
Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательное решение второго неравенства $( √ --- ] − 3 − 29 x ∈ ----------;− 4 ∪ [0;1]. 2$

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим $( √ --- ] x ∈ − 12( 29 + 3);− 4 ∪ {0;1}.$

Ответ:

$( √--- ] − 12( 29 + 3 );− 4 ∪ {0;1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2755

Решите систему

( 5 3 |{ 16x− 4 − 3 ⋅ 4x− 2 + 1 ≥ 0 | 2x2 + 5x − 7 ( log2------------- ≤ 1 3x − 2

Источник: ЕГЭ 2014, вторая волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство перепишем в виде

16x 4x ---5− 3 ⋅-3-+ 1 ≥ 0 16 4 42

Заметим, что $1654 = (24)54 = 25$ , а $432 = (22)32 = 23$ . Сделаем замену $4x = t > 0$ :

t2 t 2 25-− 323-+ 1 ≥ 0 ⇔ t − 12t + 32 ≥ 0 ⇔ (t − 4)(t − 8) ≥ 0 ⇔ t ∈ (− ∞; 4] ∪ [8;+ ∞ ).

Сделаем обратную замену:

[ ⌊ 4x ≤ 4 x ≤ 1 ⇔ ⌈ 3 4x ≥ 8 x ≥ -- 2

2) Второе неравенство. Так как основание логарифма больше единицы, то данное неравенство равносильно

( ( | 2x2-+-5x-−-7- | 2x2-−-x-−-3- |{ 3x − 2 ≤ 2 |{ 3x − 2 ≤ 0 2 ⇔ 2 ||( 2x--+-5x-−-7-> 0 ||( 2x--+-5x-−--7 > 0 3x − 2 3x − 2

Решая каждое неравенство методом интервалов, получим ответ для первого: $(2- 3] x ∈ (− ∞; − 1] ∪ 3;2$ и для второго: $( ) x ∈ − 72; 23 ∪ (1;+ ∞ )$ . Пересекая эти решения, получим $( ] ( ] x ∈ − 72;− 1 ∪ 1; 32$ .

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим $x ∈ (− 7;− 1] ∪ { 3} 2 2$ .

Ответ:

$( ] − 72;− 1 ∪ {1,5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2224

Решите систему

( ( 2 ) || x-- 16- { log3 4 − x2 ≤ 1 2 ||( -----2x-+--x −-28------≤ 0 (x − 6 )2 + (x − 5)3 − 1

Источник: ЕГЭ 2014, вторая волна, резервный день

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ:

x2 16 x4 − 64 ---− -2-> 0 ⇔ ----2---> 0 ⇔ 4 x 4x √ -- √ -- 2 -- -- ⇔ (x-−-2--2)(x-+-2--2)(x--+-8) > 0 ⇔ x ∈ (− ∞; − 2√ 2) ∪ (2 √ 2;+∞ ) x2

На ОДЗ данное неравенство равносильно:

2 4 2 2 2 x-- 16- x--−-12x--−-64- (x-+--4)(x-−--16) 4 − x2 ≤ 3 ⇔ 4x2 ≤ 0 ⇔ 4x2 ≤ 0 ⇔ 2 ⇔ (x--+-4)(x-−-4)(x-+-4)-≤ 0 ⇔ x ∈ [− 4;0) ∪ (0;4] 4x2

Пересекая полученное решение с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: $√ -- √ -- x ∈ [− 4;− 2 2) ∪ (2 2; 4].$

2) Второе неравенство.
По формуле разности кубов $(x − 5)3 − 1 = (x − 5 − 1)((x − 5)2 + x − 5 + 1) = (x − 6)(x2 − 9x + 21 )$ . Следовательно, знаменатель можно разложить на множители $2 2 2 (x − 6) + (x − 6)(x − 9x + 21 ) = (x − 6)(x − 8x + 15 ) = (x − 6)(x − 3)(x − 5)$ .

Тогда все неравенство, разложив и числитель на множители, можно переписать в виде

--(2x-−--7)(x-+-4-)--- (x − 6 )(x − 3 )(x − 5) ≤ 0

Решив полученное неравенство методом интервалов, получим

( ] x ∈ (− ∞; − 4 ] ∪ 3; 7 ∪ (5;6). 2

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим $( ] x ∈ {− 4} ∪ 3; 72$

Ответ:

$( ] {− 4} ∪ 3; 72$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#929

Решите систему

{ 19 ⋅ 4x + 4−x ≤ 20 x ⋅ logx+3(7 − 2x) ≥ 0

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Сделаем замену $4x = t > 0$ , тогда неравенство примет вид

1 19t2 − 20t + 1 (19t − 1)(t − 1) 19t + --≤ 20 ⇔ --------------≤ 0 ⇔ ----------------≤ 0 t t t

Решая данное неравенство методом интервалов, получим $[ ] t ∈ (− ∞; 0) ∪ 119;1$ . Учитывая, что $t > 0$ , получаем $[ ] t ∈ -1;1 19$ . Сделаем обратную замену:

-1- x log4119 x 0 1-- 19 ≤ 4 ≤ 1 ⇔ 4 ≤ 4 ≤ 4 ⇔ log4 19 ≤ x ≤ 0.

2) Второе неравенство. Найдем ОДЗ:

( |{ x + 3 > 0 ( ) 7- | x + 3 ⁄= 1 ⇔ x ∈ (− 3;− 2) ∪ − 2;2 . ( 7 − 2x > 0

На ОДЗ по методу рационализации данное неравенство равносильно

x (x + 3 − 1)(7 − 2x − 1) ≥ 0 ⇔ x (x + 2)(x − 3) ≤ 0

Решая его методом интервалов, получим $x ∈ (− ∞; − 2] ∪ [0;3]$ . Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получим $x ∈ (− 3; − 2) ∪ [0;3]$ .

3) Заметим, что $-1 log419 = − log4 19$ , следовательно, пересекая решения обоих неравенств, получим $x ∈ [− log419; − 2) ∪ {0}.$

Ответ:

$[− log4 19;− 2) ∪ {0}$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2226

Решите систему

( || log --x-+-4-- ≥ − 10 |{ 5−x(x − 5)10 ||| 3 2 50x2-+-x-−-7- ( x + 8x + x − 7 ≤ 1

Источник: ЕГЭ 2013, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ:

( 5 − x > 0 ( ||{ |{ x < 5 5 − x ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 4 ⇔ x ∈ (− 4;4 ) ∪ (4;5) || --x-+-4-- |( ( (x − 5)10 > 0 x ∈ (− 4;5) ∪ (5;+ ∞ )

На ОДЗ данное неравенство равносильно:

10 log --x-+-4-- + log (5 − x)10 ≥ 0 ⇔ log (x-+-4)(5-−-x)-- ≥ 0 ⇔ log (x + 4) ≥ 0 5− x(x − 5)10 5−x 5− x (x − 5)10 5−x

Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно:

(5 − x − 1)(x + 4 − 1) ≥ 0 ⇔ x ∈ [− 3;4]

Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства:

x ∈ [− 3;4).

2) Второе неравенство: приведем все к общему знаменателю

x4-+-8x3-−--7x3 −-56x2-+-50x2-+-x-−-7-−-x-+-7 x − 7 ≤ 0 ⇔ 2 ⇔ x--(x +-3)(x-−-2-)≤ 0 ⇔ x ∈ (− ∞; − 3] ∪ {0} ∪ [2;7). x − 7

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ $x ∈ { − 3; 0} ∪ [2;4).$

Ответ:

${− 3;0} ∪ [2;4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2225

Решите систему

( || log −-1-−-x ≤ − 1 |{ 2−x x − 2 ||| x2 −-8x-+-6- 8x-−-37- ( x − 1 + x − 5 ≤ x + 1

Источник: ЕГЭ 2013, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ:

(| 2 − x > 0 ( |{ |{ x < 2 2 − x ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 1 ⇔ x ∈ (− 1;1 ) ∪ (1;2) ||( −-1-−-x |( x − 2 > 0 x ∈ (− 1;2)

На ОДЗ данное неравенство равносильно:

− 1 − x (− 1 − x)(2 − x) log2−x ------- + log2−x(2 − x) ≤ 0 ⇔ log2−x ----------------≤ 0 ⇔ log2− x(x + 1 ) ≤ 0 x − 2 x − 2

Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно:

(2 − x − 1)(x + 1 − 1) ≤ 0 ⇔ x ∈ (− ∞; 0] ∪ [1;+ ∞ )

Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства:

x ∈ (− 1;0 ] ∪ (1;2).

2) Второе неравенство: приведем все к общему знаменателю

x3-−-8x2-+-6x-−--5x2 +-40x-−-30-+-8x2-−-37x-−-8x-+--37 −-x3 +-5x2 +-x −-5 (x − 1)(x − 5) ≤ 0 ⇔ ⇔ ----2x-+-2---- ≤ 0 ⇔ x ∈ (− ∞; − 1] ∪ (1;5). (x − 1 )(x − 5)

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ $x ∈ (1;2).$

Ответ:

$(1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#932

Решите систему

( 8 || (x-−--4)- |{ log4−x x + 5 ≥ 8 ||| x2-−-3x-−-5- x2 −-6x-+-3- ( x − 4 + x − 6 ≤ 2x + 1

Источник: ЕГЭ 2013, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ:

( 4 − x > 0 ( ||{ |{ x < 4 4 − x ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 3 ⇔ x ∈ (− 5;3) ∪ (3; 4) || (x − 4)8 |( ( --------> 0 x ∈ (− 5;4) ∪ (4;+ ∞ ) x + 5

На ОДЗ данное неравенство равносильно:

log4 −x(x− 4)8− log4− x(x+5 )− 8 ≥ 0 ⇔ log4−x(4− x)8− log4− x(x+5 )− 8 ≥ 0 ⇔ log4−x(x+5 ) ≤ 0

Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно:

(4 − x − 1)(x + 5 − 1) ≤ 0 ⇔ x ∈ (− ∞; − 4] ∪ [3;+ ∞ )

Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства:

x ∈ (− 5; − 4] ∪ (3;4).

2) Второе неравенство:

x3 −-3x2 −-5x-−-6x2-+-18x-+-30-+-x3-−-6x2-+-3x-−-4x2-+-24x-−--12 −-2x3-+-20x2-−-48x-−-x2-+-10x-−--24- (x − 4)(x − 6) ≤ 0 ⇔ ⇔ ---2x-−--6----≤ 0 ⇔ x ∈ (− ∞; 3] ∪ (4;6). (x − 4)(x − 6 )

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ $x ∈ (− 5; − 4].$

Ответ:

$(− 5;− 4]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#931

Решите систему

( || log4− x(16 − x2) ≤ 1 { | 21x + 39 1 |( 2x + 1 − -----------≥ − ------ x2 + x − 2 x + 2

Источник: ЕГЭ 2013, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ:

(| 4 − x > 0 { 4 − x ⁄= 1 ⇔ x ∈ (− 4;3) ∪ (3;4). |( 16 − x2 > 0

На ОДЗ данное неравенство равносильно:

log (16 − x2) − log (4 − x) ≤ 0 ⇔ log (4-−-x)(4 +-x) ≤ 0 ⇔ log (4 + x) ≤ 0 4− x 4−x 4−x 4 − x 4−x

Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно:

(4 − x − 1)(x + 4 − 1) ≤ 0 ⇔ x ∈ (− ∞; − 3] ∪ [3;+ ∞ )

Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства:

x ∈ (− 4; − 3] ∪ (3;4).

2) Второе неравенство:

2x3-+-x2-+-2x2-+-x-−-4x-−-2-−-21x-−-39-+-x-−-1- 2x3-+-3x2-−-23x-−--42 (x + 2)(x − 1) ≥ 0 ⇔ (x + 2)(x − 1) ≥ 0

Подбором находим, что $x = − 2$ является корнем многочлена $2x3 + 3x2 − 23x − 42$ . Выполнив деление в столбик $3 2 2x + 3x − 23x − 42$ на $x + 2$ , получим: $3 2 2 2x + 3x − 23x − 42 = (x + 2)(2x − x − 21) = (x + 2)(x + 3)(2x − 7)$ .

Следовательно, неравенство равносильно