Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислить пределы следующих последовательностей или доказать, что у них нет
предела.
a)
b)
c)
d)
e)
a) Понятно, что должно расти медленнее, чем поскольку - это
произведение двоек, а - это произведение чисел, которые почти все больше
двойки. Попробуем теперь превратить эту идею в аккуратное доказательство:
Во-первых, идея наша здесь будет в том, чтобы оценить сверху нашу
последовательность чем-то, что заведомо стремится к И вот как мы это
сделаем.
Поясним переход с неравенством: мы заменили все серединные члены в
дроби то есть члены вида на от чего произведение,
разумеется, увеличилось, потому что все эти члены, как легко видеть, меньше
(в числителях у нас стоят одни двойки, а в знаменателях - числа от до
).
Таким образом, мы получили, что, где Значит, и наша
последовательность стремится к
b) Нас просят посчитать то есть предел последовательности, которая
представляет собой значения функции синус в натуральных точках. Естественной
гипотезой было бы то, что такая последовательность не может иметь предела,
поскольку синус - это что-то постоянно болтающееся и ни к чему на бесконечности не
стремящееся.
Попробуем воплотить эту идею в доказательство.
Давайте попробуем доказать от противного, что последовательность
предела не имеет. То есть, предположим, что всё таки
Но тогда, разумеется, и (мы начали просто идти не с первого
члена последовательности, а со второго), и точно так же Ну а
значит
Однако вспомним немного школьную тригонометрию. А именно, формулу разности
синусов:
Ну а раз так, то То есть, получается, что
Но - это просто какая-то ненулевая константа. Значит, мы получаем, что
обязательно
В то же время, т.к. второй сомножитель
стремится к а первый - ограничен. Значит, Но значит и сам
должен стремиться к
И всё, что нам осталось сделать - это вспомнить основное тригонометрическое
тождество:
Но мы только что доказали, что и одновременно с этим
Однако, по основному тригонометрическому тождеству, их сумма при любом
должна быть равна Значит оба одновременно они к стремиться к не могут.
Противоречие с предположением, что Значит, никакого предела у
последовательности существовать не могло.
c) Первое, что мы заметим - это то, что последовательность
ограничена по модулю то есть
Далее, представим нашу последовательность в виде Исследуем
отдельно первый сомножитель Вновь поделим на самую большую степень, с
которой входит во всю дробь. В данном случае делить мы будем на то
есть на в первой степени. Итак, = У этой дроби, очевидно,
числитель стремится к а знаменатель - к Значит, по свойству, что предел
отношения равен отношению пределов, вся дробь стремится к А значит,
как произведение бесконечно малой на ограниченную.
d) Мы уже научены опытом, что в таких случаях всё будет решать то, какие
коэффициенты стоят при старших членах в числителе и в знаменателе.
После раскрытия скобок в числителе старший член будет а в знаменателе
старший член, тоже после раскрытия скобок, будет Значит, после того как
мы поделим и числитель и знаменатель всей дроби на окажется, что предел её
равен
e) И вновь интуиция должна подсказать нам поделить и числитель и знаменатель на
максимальную - но теперь уже не степень а выражение с максимальным
основанием степени, то есть поделить числитель и знаменатель на Что же из
этого получится?
В числителе мы имеем сумму где первое слагаемое - бесконечно малая (по сути это частный случай последовательностей типа которые всегда стремятся к ), значит, числитель здесь стремится к Знаменатель, по аналогичным соображениям, это произведение бесконечно малой на - всё равно бесконечно малая, плюс Значит, знаменатель стремится к Значит, по вся дробь стремится к отношению пределов числителя и знаменателя, то есть к Итого, мы получили, что
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!