Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Доказать, что предел отношения равен отношению пределов, если предел знаменателя
отличен от нуля. То есть, доказать, что:
Если и и, кроме того, т.к. на последовательность
мы вообще-то хотим делить, то есть должно быть выполнено, что
Тогда
Докажем, для начала, одну вспомогательную лемму.
Лемма. Если и то - ограничена.
Доказательство. Действительно, поскольку а то, просто по
определению предела, начиная с какого-то момента мы будем попадать в любую
-окрестность числа Но нам надо отступить от нуля, чтобы не получилось
случайно, что знаменатели у слишком маленькие, то есть сами дроби -
слишком большие. Поэтому пусть - расстояние от точки до нуля.
Возьмём теперь в качестве число Тогда (по определению того, что
) такое, что или, переписывая это
последнее неравенство:
Но мы тем самым отделили от нуля (так как числа и очевидно одного знака, то есть находятся по одну сторону от Если сомневаетесь, вспомните, что у нас и обозначало то есть расстояние от до нуля). Осталось только взять и перевернуть все члены неравенства (от этого и все знаки в неравенстве поменяются), и получить, что
Вот мы и ограничили последовательность Лемма доказана.
Перейдём теперь к основному утверждению задачи. Докажем, сначала, что будет
стремиться к
Действительно, для этого достаточно установить, что - бесконечно малая.
Или, приводя к одному знаменателю, что - бесконечно малая. Но наша дробь
представляется попросту в виде произведения:
Первый член произведения - бесконечно малая (т.к. нам дано, что стремится к
). Второй член произведения, то есть - ограничен по лемме, которую мы
только что доказали. Значит, мы имеем произведение бесконечно малой на
ограниченную - это произведение тоже бесконечно мало. Значит, действительно
стремится к
А значит, если мы возьмём то эту дробь можно рассмотреть как произведение
Первый сомножитель здесь по тому, что нам дано, стремится к а второй,
по тому, что мы только что доказали, стремится к Значит, всё наше выражение
стремится к (теорема о пределе частного.)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!