Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Придумайте какую-нибудь систему из двух уравнений с двумя неизвестными и , решениями которой были бы все такие пары целых чисел , которые удовлетворяют системе неравенств
Других решений у системы быть не должно.
Замечание. Уравнения системы должны быть компактными выражениями (без знаков суммирования, троеточий и т.п.), в записи которых, помимо чисел и собственно неизвестных и , разрешается использовать скобки, знак , стандартные арифметические операции и элементарные функции из школьной программы.
Покажем, что система
является подходящей. Обозначим систему неравенств за . Покажем, что любая пара целых чисел, удовлетворяющих является решением.
Действительно, пусть верно, тогда каждое из подкоренных выражений числителей неотрицательно, а каждый из числителей обращается в ноль, поскольку числа целые.
Теперь покажем, что никакая из других пар не является решением. Пусть — решение, тогда следовательно, — целое и , следовательно, — целое. Кроме этого, , а значит, , откуда верно первое неравенство системы Аналогично получаем, что верно второе неравенство системы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что система уравнений
имеет ровно четыре решения . Найдите сумму
Ответ округлите до десятых.
Рассмотрим второе уравнение системы
Заметим, что не является решением, тогда
Поставим в первое уравнение системы и преобразуем, получив уравнение 4-ой степени относительно
Заметим, что раз — решения системы, то будут корнями данного уравнения, причём различными, иначе бы какие-то решения системы совпали в силу выражения через Т.к. многочлен 4-ой степени может иметь не более 4 корней, значит, других не будет. Тогда по теореме Виета
Теперь возьмём второе уравнение системы, удвоим его и сложим с первым уравнением, получим
Заметим, что не является решением, тогда
Подставим в первое уравнение системы и преобразуем, получив уравнение 4-ой степени теперь относительно
Аналогично случаю с по теореме Виета
В итоге
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите неравенство
Докажем, что для всех верно неравенство
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Для этого достаточно показать, что Действительно, пусть , тогда , следовательно, выпукла вверх на отрезке Кроме этого и , а значит, для всех , а значит, для всех , откуда получаем требуемое.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Так как и то применяем доказанное неравенство:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что положительные числа удовлетворяют системе:
Найдите значение выражения
Источники:
Подсказка 1
Посмотрите внимательно, у нас в каждом выражении есть квадраты двух чисел и их произведение. Подумайте, на какую геометрическую теорему похожи наши выражения.
Подсказка 2
Каждое из выражений очень похоже на теорему косинусов. Как мы в таком случае можем геометрически изобразить наши уравнения?
Подсказка 3
Давайте рассмотрим треугольник ABC и точку O, расположенную внутри него. Пусть AO = y, BO = z, CO = x. В таком случае, чему равны величины углов ∠AOB, ∠AOC, ∠BOC и чему равны длины сторон треугольника ABC.
Подсказка 4
Теперь давайте рассмотрим выражение, значение которого нужно найти. Давайте перепишем его на языке сторон треугольника. Тогда сразу станет видно, что √3xy это 4 площади треугольника AOC, 2yz это 4 площади треугольника AOB, xz это 4 площади треугольника BOC. Как теперь мы можем найти значение выражения?
Подсказка 5
Значение выражения - не что иное, как 4 площади треугольника ABC. Осталось только найти его площадь, не забудьте, что мы уже нашли три его стороны.
Рассмотрим треугольник с выбранной внутри него точкой так, что
Условия системы представляют собой теорему косинусов (в т.ч. теорему Пифагора) для треугольников
Отсюда нетрудно понять, что Теперь заметим, что
Площадь треугольника найдем по формуле Герона:
Следовательно,