Назовём реверсированием набора лампочек смену состояния всех лампочек этого набора на противоположное. Отметим два простых факта.

Нажатие на лампочку эквивалентно реверсированию строки и столбца, в которых эта лампочка стоит. Действительно, при таких реверсированиях нажимаемая лампочка меняет своё состояние дважды, то есть не меняет его, а остальные лампочки в той же строке и в том же столбце меняют своё состояние один раз.

При последовательном нажатии нескольких лампочек соответствующие им реверсирования можно производить в любом порядке. Действительно, для любой лампочки число смен её состояний равно суммарному количеству реверсирований строк и столбцов, которым она принадлежит.

Пусть было сделано нажатий на лампочки. Припишем -й строке и -му столбцу соответственно числа и обозначающие количество их реверсирований. Тогда

Мы можем исключить в левой части чётные и поскольку чётное число реверсирований строк или столбцов не меняет их состояния. После этого левая часть останется чётной. С другой стороны, суммы в левой части будут тогда содержать только нечётные слагаемые. Поэтому число слагаемых в первой сумме (обозначим его через ) имеет ту де чётность, что число слагаемых во второй сумме (обозначим его через ). Таким образом, мы реверсировали различных строк и различных столбов, причём и имеют одинаковую чётность. При этом изменяют своё состояние по сравнению с исходным (то есть включатся) в точности те лампочки, которые стоят в реверсированной строке и нереверсированном столбце или наоборот. Первых лампочек имеется а вторых Поэтому в результате будет гореть лампочек. Покажем, что Если то чётно и не равно нулю (в противном случае все лампочки будут выключены). Тогда

Если , то чётно и не равно нулю (в противном случае все лампочки будут выключены), откуда

Аналогичным образом рассматриваются случаи и Для дальнейшего заметим, что для Поэтому при

Осталось показать, что можно зажечь ровно лампочки. Для этого достаточно на погашенном табло нажать один раз на произвольную лампочку.