Тема . Ломоносов
Тождественные преобразования, функции, уравнения и системы на Ломоносове
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела ломоносов
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#65395

Функция f(x)  удовлетворяет при каждом значении x  равенству

f(x+ 2)=f(x)+ 4x +4.

Найдите f(2012)  , если f(2)= 0  .

Источники: Ломоносов-2012

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам фактически дано рекуррентное соотношение. Что оно позволяет найти, если подставить вместо x что-то удобное?

Подсказка 2

Если подставить 2, то находим f(4), потом если подставить 4, то находим f(6), и т.д.

Подсказка 3

Попробуйте записать такую подстановку x=2t в общем виде. Или же можно угадать, чему равно f(2t), и потом доказать по индукции.

Показать ответ и решение

Вычислим значение функции в произвольной чётной точке 2t  :

f(2t)= f(2(t− 1))+4(2(t− 1))+ 4= f(2(t− 2))+ 4(2(t− 1)+2(t− 2))+4 ⋅2 =

= f(2(t− 3))+4(2(t− 1)+2(t− 2)+ 2(t− 3))+ 4⋅3= ...= f(2)+ 4(2(t− 1)+ ...+2 ⋅1)+ 4(t− 1)=

= 8(1+ 2+ ...+t− 1)+4(t− 1)= 4t2 − 4

Более формально равенство f(2t)= 4t2− 4  можно доказать индукцией по t  . Таким образом, f(2012)= 4048140  .

Ответ: 4048140

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!