Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В пирамиде с вершиной известно, что 5 и . Найдите длину ребра , если вписанная в пирамиду сфера касается основания в точке пересечения диагоналей четырёхугольника .
Источники:
Подсказка 1
Сфера даёт очень много точек касания, а значит, очень много равных отрезков касательных. Попробуйте найти пары равных треугольников (их точно больше 5).
Подсказка 2
Вы получили очень много равных углов, но отдельных равенств недостаточно, тогда как бы их объединить? Вспомните, чему равна сумма углов вокруг точки, и посчитайте такие суммы для точек касания сферы боковых сторон.
Подсказка 3
Из полученных равенств попробуйте найти угол между диагоналями основания. Это знание и поможет посчитать искомую сторону:)
Обозначим точки касания сферы с гранью основания и гранями и буквами и соответственно.
По свойству отрезков касательных, соответствующие отрезки касательных к сфере будут равны. Значит, по признаку равенства по трём сторонам будут равны треугольники
а также
Следовательно, будут равны все соответствующие углы этих треугольников.
Поскольку вертикальные углы между диагоналями равны, то будут равны углы и .
Рассматривая суммы углов вокруг точек и получаем, что все углы равны:
Так как эти же углы получаются между диагоналями в основании и образуют вокруг точки в сумме , то углы прямые и диагонали и перпендикулярны.
Обозначим длины отрезков и за и соответственно. Применяя теорему Пифагора для треугольников и получим равенства:
Складывая первое и третье и вычитая второе равенство, получим . Из теоремы Пифагора для треугольника находим отрезок .