Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
через вершину 
проведена прямая 
, перпендикулярная медиане, выходящей из
вершины 
. Продолжения высот 
и 
треугольника пересекают прямую 
в точках 
и 
. Докажите, что
.
Подсказка 1
Сразу определим векторы, соответствующие сторонам треугольника и медиане. Как записать перпендикулярность «на языке векторов»?
Подсказка 2
Перпендикулярность векторов записываем как нулевое скалярное произведение! Теперь у нас есть 3 уравнения (скалярных произведения), попробуем их преобразовать и сделать выводы!
Подсказка 3
Нужное скалярное произведение есть 31/65 от суммы квадратов длин векторов AO и BO. А как учесть угол?)
Первое решение. Пусть 
и 
Прямая 
перпендикулярна медиане, следовательно,
С другой стороны, 
и 
, поэтому
Складывая три полученных равенства, выводим
что возможно только если вектор 
нулевой, поскольку прямая 
не перпендикулярна стороне 
. Это обеспечивает равенство
.
Второе решение. Обозначим середину отрезка 
за 
. Отразим точки 
и 
относительно 
, то есть построим точки 
и
такие, что 
является серединой отрезков 
и 
.png)
Ясно, что 
, что означает 
. С другой стороны, 
, так как 
и 
- это одна и та же прямая.
Наконец, отметим, что 
: это следует из того, что 
перпендикулярна 
, а 
- средняя линия в треугольнике 
, то есть
.
Осталось воспользоваться тем, что высоты 
и 
треугольника 
пересекаются в одной точке. Это означает, что 
совпадает с 
, то есть 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
